結合確率変数の瞬間は何ですか？

簡単な質問ですが、オンラインで答えを見つけるのは驚くほど難しいです。

私は、RVのためにことを知っている、我々はk番目の時点を定義 場合等式は以下濃度のために、とルベーグ測度。$X$

それで、例えば、のk番目のモーメントは何ですか？は私に対する答えのようには見えません...$(X,Y)$$\int (X,Y) \ d P$

それらの多くがあるので、モーメントに関して「the」はありませんが、2変量変数のモーメントは、1つではなく2つのインデックスによってインデックス付けされます。

したがって、番目のモーメントではなく、には番目のモーメント、（あいまいでない場合は、と書かれることもあります）。、モーメントまたは、モーメント、またはなどについて話すかもしれません。$k$$\mu_k$$(j,k)$$\mu_{j,k}$$\mu_{jk}$$\mu_{1,1}$$(1,1)$$\mu_{1,2}$$(1,2)$$\mu_{2,2}$

これらは混合モーメントと呼ばれることもあります。

1次元の連続例を一般化すると、

$\mu_{j,k} = \int\int x^j y^k f(x,y) \, dx dy$

これは、より高い次元に一般化されます。

@ Glen_b♦で述べたように、モーメントはクロスモーメントに一般化されます（関連する概念：ジョイントモーメント生成関数、ジョイント特性関数、キュムラント）。

とは言っても、クロスモーメントは実数に評価されるため、この定義は一変量モーメントと同等ではありませんが、たとえば多変量正規ベクトルの場合、平均はベクトルであり、分散は行列です。結合特性関数導関数を使用して、より高次元の「モーメント」を定義するかもしれないと推測しています、ここで、導関数はランクテンソルを使用して一般化されます（したがって、2次導関数はヘッセ行列になります）。$\varphi_\mathbf{X}(\mathbf{t})=E[e^{i\mathbf{t}'\mathbf{X}}]$$k$

他にも多くの興味深い関連トピックがあります。たとえば、多変量歪度の測定とアプリケーションを使用した尖度。