独立のための共同MGFに関する必要かつ十分な条件
CDFとの共同分布に対して、共同モーメント生成関数があるとします。あるの両方に必要かつ十分の独立の条件と？私は必要性だけを述べたいくつかの教科書を調べた：F X 、Y（X 、Y ）M X 、Y（S 、T ）= M X 、Y（S 、0 ）⋅ M X 、Y（0 、T ）X YMX,Y(s,t)MX,Y(s,t)M_{X,Y}(s,t)FX,Y(x,y)FX,Y(x,y)F_{X,Y}(x,y)MX,Y(s,t)=MX,Y(s,0)⋅MX,Y(0,t)MX,Y(s,t)=MX,Y(s,0)⋅MX,Y(0,t)M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)XXXYYY Fバツ、Y（x 、y）= Fバツ（X ）⋅ FY（y）⟹Mバツ、Y（s 、t ）= Mバツ（S ）⋅ MY（t ）FX,Y(x,y)=FX(x)⋅FY(y)⟹MX,Y(s,t)=MX(s)⋅MY(t)F_{X,Y}(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y) \implies M_{X,Y}(s,t)=M_X(s) \cdot M_Y(t) 独立性が意味するため、この結果は明らかです。周辺のMGFは共同MGFによって決定されるため、次のようになります。MX,Y(s,t)=E(esX+tY)=E(esX)E(etY)MX,Y(s,t)=E(esX+tY)=E(esX)E(etY)M_{X,Y}(s,t)=\mathbb{E}(e^{sX+tY})=\mathbb{E}(e^{sX}) \mathbb{E}(e^{tY}) X,Y independent⟹MX,Y(s,t)=MX,Y(s,0)⋅MX,Y(0,t)X,Y independent⟹MX,Y(s,t)=MX,Y(s,0)⋅MX,Y(0,t)X,Y\text{ independent} \implies M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t) しかし、オンラインで検索したところ、証拠がない、コンバースへの一時的な参照しか見つかりませんでした。次のスケッチプルーフは機能しますか？ ジョイントMGF与えられると、これは、とおよびそれらのMGF の周辺分布を一意に決定します。M_X および。単独で周辺分布は、多くの他の可能な関節分布と互換性があり、一意た関節の分布を決定及び CDFと独立している、およびMGF：X Y …