独立のための共同MGFに関する必要かつ十分な条件

CDFとの共同分布に対して、共同モーメント生成関数があるとします。あるの両方に必要かつ十分の独立の条件と？私は必要性だけを述べたいくつかの教科書を調べた：F X 、Y（X 、Y ）M X 、Y（S 、T ）= M X 、Y（S 、0 ）⋅ M X 、Y（0 、T ）X $M_{X,Y}(s,t)$$F_{X,Y}(x,y)$$M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$$X$$Y$

$$F_{X,Y}(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y) \implies M_{X,Y}(s,t)=M_X(s) \cdot M_Y(t)$$

独立性が意味するため、この結果は明らかです。周辺のMGFは共同MGFによって決定されるため、次のようになります。$M_{X,Y}(s,t)=\mathbb{E}(e^{sX+tY})=\mathbb{E}(e^{sX}) \mathbb{E}(e^{tY})$

$$X,Y\text{ independent} \implies M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$$

しかし、オンラインで検索したところ、証拠がない、コンバースへの一時的な参照しか見つかりませんでした。次のスケッチプルーフは機能しますか？

ジョイントMGF与えられると、これは、とおよびそれらのMGF の周辺分布を一意に決定します。M_X および。単独で周辺分布は、多くの他の可能な関節分布と互換性があり、一意た関節の分布を決定及び CDFと独立している、およびMGF：X Y M X（s ）= M X 、Y（s 、0 ）M Y（t ）= M X 、Y（0 、t ）X Y F ind X 、Y（x 、Y ）= F X（X ）⋅ $M_{X,Y}(s,t)$$X$$Y$$M_X(s)=M_{X,Y}(s,0)$$M_Y(t)=M_{X,Y}(0,t)$$X$$Y$$F_{X,Y}^{\text{ind}}(x,y)=F_X(x) \cdot F_Y(y)$

$$M_{X,Y}^{\text{ind}}(s,t) = M_X(s) \cdot M_Y(t) = M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$$

したがって、元のMGFに対してが与えられた場合、これはを表示するのに十分です。次に、MGFの一意性により、元の結合分布はとおよびは独立しています。$M_{X,Y}(s,t) = M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$$M_{X,Y}(s,t) = M_{X,Y}^{\text{ind}}(s,t)$X$F_{X,Y}(x,y) = F_{X,Y}^{\text{ind}}(x,y) = F_X(x) \cdot F_Y(y)$$X$$Y$

はい、これは、2つの確率変数だけでなく、（有限の）確率変数のシーケンスの独立性のための必要かつ十分な条件です。Rinaldo B. Schinazi著、Statistical Applicationsを使用した確率の 242ページの例P.2を確認してください。または確率生成関数に基づくカウントデータの計量経済分析の 259ページ 。「モーメント生成関数は常に存在するとは限らない」ことに注意してください。