多変数依存の共同分布から周辺分布を見つける方法は？

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私の教科書の問題点の1つは次のとおりです。2次元の確率的連続ベクトルには、次の密度関数があります。

f_{X, Y} (x, y) = {\begin{cases} 15 x y^{2} & if 0 < x < 1 and 0 < y < x \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} 15xy^2 & \text{if 0 < x < 1 and 0 < y < x}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$

周辺密度関数およびが次のとおりであることを示します。 $f_X$ $f_Y$

f_{X} (x) = {\begin{cases} 5 x^{4} & if 0 < x < 1 \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{X}(x)= \begin{cases} 5x^4 & \text{if 0 < x < 1}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$

f_{Y} (y) = {\begin{cases} \frac{15}{2} y^{2} (1 - y^{2}) & if 0 < y < 1 \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{Y}(y)= \begin{cases} \scriptsize{\frac{15}{2}}\normalsize y^2(1-y^2) & \text{if 0 < y < 1}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$

密度関数がに関してからまでの積分することによってどのように計算されるかを理解しています。しかし、私はで完全に迷っています。どこから来ましたか？に関してからまで積分すると、しか得られません。 $f_X$ $f_{X,Y}$ $0$ $x$ $y$ $f_Y$ $(1-y^2)$ $0$ $1$ $x$ 、なぜ範囲がですか？ $\scriptsize{\frac{15}{2}}\normalsize y^2$ $0 < y < 1$

$X,Y$ $f_{X,Y}>0$

$ X、Y $のサポート

self-study random-variable marginal joint-distribution

— soren.qvist
ソース

1

(X, Y)

$(X,Y)$

(x, y)

$(x,y)$

f (x, y) \neq 0

$f(x,y)\ne 0$

@whuberわかりました。サポートをグラフにしたので、なぜそれが0 <y <1なのか理解できたと思います。これは、xが0 <x <1でのみ定義されているためであり、0 <y <xなので、当然、yは0から1まで定義されていますか？しかし、私はまだ（1-y ^ 2）の部分を理解していません。

— soren.qvist 2013年

3

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

f_{X, Y} (x, y)

$f_{X,Y}(x,y)$

y

$y$

0 < y < 1

$0 < y < 1$

x

$x$

y < x < 1

$y < x < 1$

f_{Y} (y) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y} (x, y) d x = \int_{y}^{1} 15 x y^{2} d x

$f_Y(y) = \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y}(x,y)dx = \int_y^1 15xy^2 dx$

(1 - y^{2})

$(1-y^2)$

y

$y$

0 < y < 1

$0 < y < 1$

x

$x$

y < x < 1

$y<x<1$

1

f_{Y} (0.4)

$f_Y(0.4)$

x

$x$

(15 (0.4)^{2}) x = 2.4 x

$(15(0.4)^2)x=2.4x$

x

$x$

0.4

$0.4$

1

$1$

0

$0$

y

$y$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

y

$y$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

回答:

8

$f_{Y}(y)$ $f_{X,Y}(x,y)$ $f_{X,Y}(x,y)$ $X$ $X=y$ $X=1$ $Y=X$ $X=1$

$X=y$ $X=1$

f_{Y} (y) = \int_{y}^{1} f_{X, Y} (x, y) d x = \int_{y}^{1} 15 x y^{2} d x = 15 y^{2} \int_{y}^{1} x d x = 15 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} |_{y}^{1}) = \frac{15}{2} y^{2} (1 - y^{2}) .

$f_{Y}(y)= \int_{y}^{1} f_{X,Y}(x,y) dx= \int_{y}^{1} 15xy^{2} dx=15y^{2}\int_{y}^{1} x dx=15y^{2}\left(\frac{1}{2}x^2\Big|_y^1\right)\\=\frac{15}{2}y^2(1-y^2).$

— ユーザー3487564
ソース

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