変数が完全な同時依存性を示す場合、多変量中心極限定理（CLT）は成り立ちますか？

タイトルは私の質問を要約したものですが、明確にするために、次の簡単な例を検討してください。ましょう、。定義：および 私の質問：にもかかわらずとときに完全に依存しており、DO と CONVERGE ような結合正規分布に？ $X_i \overset{iid}{\backsim} \mathcal{N}(0, 1)$ $i = 1, ..., n$

S_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$\begin{equation} S_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \end{equation}$

T_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i}^{2} - 1)

$\begin{equation} T_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i^2 - 1) \end{equation}$

S_{n}

$S_n$

T_{n}

$T_n$

n = 1

$n = 1$

\sqrt{n} S_{n}

$\sqrt{n} S_n$

\sqrt{n} T_{n}

$\sqrt{n} T_n$

n \to \infty

$n \rightarrow \infty$

動機：質問に対する私の動機は、ときに $S_n$ と $T_n$ が完全に依存していることが奇妙に感じられる（しかし素晴らしい）という事実に由来しますが、多変量CLTの意味は、（これは、とがすべての無相関であるため従います。したがって、それらが漸近的に結合した法線である場合、漸近的に独立している必要があります）。 $n = 1$ $n \rightarrow \infty$ $S_n$ $T_n$ $n$

回答やコメントを事前にありがとう！

PS、あなたが何かリファレンスなどを提供できるなら、それはなお良いことです！

— コリンTバウアーズ
ソース

答えはありませんがコメントです。これは驚くべきことではありません。n = 1で注意する依存関係は、nが上がるにつれて急速に減少します。

— エリック

@egbutterは良い答えを提供してくれました。まだ別の直感や追加の直感を探している場合は、pingを実行すると、少し違うものを作成することがわかります。

— 枢機卿

@cardinal申し出に感謝しますが、私はこの時点でかなり満足しています-私はエバターに賞金を授与しました。私は直感を持っていると思います。私の投稿の主な目的は、誰かが飛び込んで「いやいや、それが原因ですべてが間違っている」と言ったかどうかを確認することでした:-)乾杯。

— Colin T Bowers、

回答:

私があなたのqを理解するときの短い答えは「はい、しかし...」S、T、および他のモーメントの収束率は必ずしも同じではありません- ベリーエッセンの定理で境界を決定することを確認してください。

q、Sn、Tnを誤解している場合でも、弱い依存性（混合）の条件下でCLTを保持しています。依存プロセスについては、 WikipediaのCLTを確認してください。

CLTは、一般的な定理である-基本的な証明は以上何を必要としない特徴的な機能は、標準正規の特性関数に対するSnとTnの収束のレビー継続性定理は、特性関数の収束が分布の収束を意味言います。

John CookがCLTエラーのすばらしい説明をここに提供します。

— エバター
ソース

答えてくれてありがとう。この質問に関する限り、私は収束率にはあまり関心がなく、CLTが依存性などのより一般的な条件下で保持されるかどうかも関係ありません。私が本当に望んでいたのは、各合計のi番目のコンポーネントが完全な同時依存性を示す場合の多変量 CLTの使用を正当化する参照またはステートメントです。その後、Davidsonの "確率限界理論"で、多変量CLTが任意の同時依存性を保持することを述べている参照を見つけましたが、それでもそのステートメントについて少し厳密なものを探しています。

— Colin T Bowers、2012年

あなたはこれを考えすぎているようです。[1、n]のiは、あなたが参照している「同時」コンポーネントですか？その場合、重要な点は、SnとTnが収束することです（上記の「古い」CLT証明と同じ方法を使用して、これを自分で証明できます）。ただし、特定のiの場合、エラーは異なる。これは、CLTが保持する事実を変更しません。多変量/単変量の区別は重要ではありません。

— egbutter-

はい、iは同時期のコンポーネントです。証明を通して例を実行することについての良い提案。私は実際にこれを行いました、そして、何の問題も見つけませんでした、それは逆説的に私をより緊張させました。たぶん、私はこの時点で考えすぎているでしょう:-)返答ありがとうございます。1日の終わりまでに他の誰も答えに亀裂がない場合、私はあなたの応答に答えをマークします。乾杯。

— Colin T Bowers

私は確かに共感できます-私はしばしば同じことをします！:)

— egbutter

もちろん、これは何も証明しませんが、シミュレーションやグラフのプロットは、理論的な結果を理解するのに非常に便利だといつも思っています。

これは特に単純なケースです。ランダムな正規変量を生成し、およびを計算します。回繰り返します。プロットされているのは、 1、10、100およびのグラフです。が増加するにつれて依存関係が弱まるのは簡単です。でのグラフは独立とほとんど見分けがつきません。 $n$ $S_n$ $T_n$ $m$ $n = 1, 10, 100$ $1000$ $n$ $n = 100$

test <- function (m, n) 
{
    r <- matrix(rnorm(m * n), nrow = m)
    cbind(rowMeans(r), rowSums(r^2 - 1)/n)
}

par(mfrow=c(2,2))
plot(test(100, 1))
plot(test(100, 2))
plot(test(100, 5))
plot(test(100, 100))

ここに画像の説明を入力してください

— ホン大井
ソース