X、Y単変量確率変数：それらは独立していますか？

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LET及び単変量ランダムCDFを有する変数である：ようここで、、は既知の関数です。 $X:\Omega\to\mathbb{R}$ $Y:\Omega\to\mathbb{R}$ $F_{X,Y}(x,y)$

F_{X, Y} (x, y) = G_{1} (x) G_{2} (y), \forall (x, y) \in R \times R

$F_{X,Y}(x,y)=G_1(x)G_2(y),\forall (x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}$

G_{1} : R \to R

$G_1:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$

G_{2} : R \to R

$G_2:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$

質問：とが独立したRV であることは本当ですか？ $X$ $Y$

誰かが私にいくつかのヒントを与えることはできますか？

私が試した：が、なぜ（またはif）かわかりません。

F_{X} (x) = lim_{y \to \infty} F_{X, Y} (x, y) = lim_{y \to \infty} G_{1} (x) G_{2} (y) = G_{1} (x) \cdot lim_{y \to \infty} G_{2} (y)

$F_X(x)=\lim_{y\to\infty}F_{X,Y}(x,y)=\lim_{y\to\infty}G_1(x)G_2(y)=G_1(x)\cdot\lim_{y\to\infty}G_2(y)$

lim_{y \to \infty} G_{2} (y) = 1

$\lim_{y\to\infty}G_2(y)=1$

random-variable joint-distribution

— ギルヘルメサロメ
ソース

2

関係

F_{X, Y} (x, y) = G_{1} (x) G_{2} (y)

$F_{X,Y}(x,y)=G_1(x)G_2(y)$ は、すべての

x

$x$ と

、

y

$y$ または特定の

のみ成立し

(x, y)

$(x,y)$ ますか？

— Dilip Sarwate、2015年

2

また、

F_{X, Y} (x, y)

$F_{X,Y}(x,y)$ はCDFですか？

— Vimal

1

2変量確率変数の分布関数をと関数の積に因数分解する方法を知ることが、とが独立していると結論付けるのに十分であるかどうかを尋ねようとしていますか？

(X, Y)

$(X,Y)$

x

$x$

y

$y$

X

$X$

Y

$Y$

— whuber

混乱してしまい申し訳ありません。質問を編集します。はCDFであり、プロパティはすべての保持されます。

F_{X, Y} (x, y)

$F_{X,Y}(x,y)$

x, y

$x,y$

— ギルヘルメサロメ2015年

1

lim_{y \to \infty} G_{2} (y) = 1

$\lim_{y\to\infty}G_2(y)=1$ がtrueである必要はありません。検討ととすることを考えるが、両方そして、 1の制限することはできません

H_{1} (x) = G_{1} (x) * 0.5

$H_1(x) = G_1(x) * 0.5$

H_{2} (y) = G_{2} (y) * 2

$H_2(y) = G_2(y) * 2$

F_{X, Y} (x, y) = H_{1} (x) H_{2} (y)

$F_{X,Y}(x,y)=H_1(x)H_2(y)$

G_{1}

$G_1$

H_{1}

$H_1$

— bsdfish

回答:

7

はい、これらの仮定がとが独立していることを意味するのは事実です。 $X$ $Y$

書いて表記を簡略化します。定義により、 $F = F_{X,Y}$

F (x, y) = Pr (X \leq x, Y \leq y) .

$F(x,y) = \Pr(X \le x, Y \le y).$

したがって限界ような結合することなく増加が存在し、チャンスということである越えない： $F(x,y)$ $y$ $X$ $x$

F_{X} (x) = Pr (X \leq x) = lim_{y \to \infty} F (x, y) = G_{1} (x) lim_{y \to \infty} G_{2} (y) .

$F_X(x) = \Pr(X \le x) = \lim_{y\to\infty} F(x,y) = G_1(x) \lim_{y\to\infty} G_2(y).$

ががゼロでないことを示す任意のを選択します。（このようなは、総確率の法則によって存在する必要があります。）したがって、 $x$ $F_X(x)\ne 0$ $G_2^\infty = \lim_{y\to\infty}G_2(y)$ $x$ $\lim_{x\to\infty}F_X(x)=1$

G_{1} (x) = \frac{F_{X} (x)}{G_{2}^{\infty}}

$G_1(x) = \frac{F_X(x)}{G_2^\infty}$

すべての。と役割を交換し、類似の表記法を使用して、 $x$ $X$ $Y$

G_{2} (y) = \frac{F_{Y} (y)}{G_{1}^{\infty}}

$G_2(y) = \frac{F_Y(y)}{G_1^\infty}$

すべての。と両方が無限のショーなしに成長するので、共同制限をとります $y$ $x$ $y$

1 = lim_{x, y \to \infty} F (x, y) = G_{1}^{\infty} G_{2}^{\infty} .

$1 = \lim_{x,y\to\infty} F(x,y) = G_1^\infty G_2^\infty.$

したがって

F (x, y) = G_{1} (x) G_{2} (y) = \frac{F_{X} (x) F_{Y} (y)}{G_{1}^{\infty} G_{2}^{\infty}} = F_{X} (x) F_{Y} (y),

$F(x,y) = G_1(x)G_2(y) = \frac{F_X(x)F_Y(y)}{G_1^\infty G_2^\infty} = F_X(x)F_Y(y),$

実証と独立しています。 $X$ $Y$

— whuber
ソース

1

奇妙なことに、とどちらも、と負の値の関数であり、それでもすべてうまくいきます。

G_{1} (\cdot)

$G_1(\cdot)$

G_{2} (\cdot)

$G_2(\cdot)$

G_{1}^{\infty} = - 2

$G_1^\infty = -2$

G_{2}^{\infty} = - \frac{1}{2}

$G_2^\infty = -\frac 12$

— Dilip Sarwate、2015年

2

@DilipSarwate：が関係を満たしている場合はもため、と両方が正の値であると安全に想定できるので、それほど不思議ではありません。同様に、が関係を満たす場合、もすべての満たされます。

(G_{1}, G_{2})

$(G_1,G_2)$

(- G_{1}, - G_{2})

$(-G_1,-G_2)$

G_{1}

$G_1$

G_{2}

$G_2$

(G_{1}, G_{2})

$(G_1,G_2)$

(α G_{1}, α^{- 1} G_{2})

$(\alpha G_1,\alpha^{-1} G_2)$

α \in R^{*}

$\alpha\in\mathbb{R}^*$

— 西安

@西安私は完全によく理解しています。私はただ強調したかったのです（OPはがとして制限値を持っていることを示す方法を疑問に思っていたため、彼はおよび望んでいたことを意味し）分解、とが独立していることを意味し、すべての。すべてのも同様に機能します。

G_{2} (y)

$G_2(y)$

1

$1$

y \to \infty

$y\to\infty$

G_{1} = F_{X}

$G_1=F_X$

G_{2} = F_{Y}

$G_2=F_Y$

F_{X, Y} (x, y) = G_{1} (x) G_{2} (y) \forall x, y

$F_{X,Y}(x,y)=G_1(x)G_2(y)~\forall~x,y$

X

$X$

Y

$Y$

G_{1} (x) \geq 0, G_{2} (y) \geq 0

$G_1(x) \geq 0, G_2(y) \geq 0$

x, y

$x, y$

G_{1} (x) \leq 0, G_{2} (y) \leq 0

$G_1(x) \leq 0, G_2(y) \leq 0$

x, y

$x, y$

— Dilip Sarwate、2015年

@Dilipは、必要にて複雑な値をこともできます:-)。

G_{i}

$G_i$

— whuber

1

@KiranK。「共同CDFがでは、と独立していますか？」答えは「はい」で、これを示すには少し作業が必要です。およびが有効なCDF であるとは主張されていません。この主張を含めることを主張する場合、独立したRV の定義の1つは、共同CDFが限界CDFの積を考慮に入れることであるため、答えは自明です。

F_{X, Y} (x, y)

$F_{X,Y}(x,y)$

F_{X, Y} (x, y) = G_{1} (x) G_{2} (y) \forall x, y

$F_{X,Y}(x,y)=G_1(x)G_2(y)~\forall x,y$

X

$X$

Y

$Y$

G_{1} (x)

$G_1(x)$

G_{2} (y)

$G_2(y)$

— Dilip Sarwate、2015年

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