独立性と順序の統計

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手元に問題があり、続行できません。誰かが私を始めるのを手伝ってくれる？

$Y_1<Y_2<Y_3$ ：pdfをもつ分布からのサイズ3の順序統計量また、定義しますタスクは、を計算することです。

f (x) = 2 x 0 < x < 1

$f(x)=2x\ \ \ 0<x<1$

U_{1} = \frac{Y_{1}}{Y_{2}} and U_{2} = \frac{Y_{2}}{Y_{3}}

$U_1={Y_1\over Y_2} \ \ \text{and }\ \ \ U_2={Y_2\over Y_3}$

U_{1} & U_{2}

$U_1\ \&\ U_2$

私の作品：限界を発見しました。 $U_1\ \&\ U_2$

P (U_{1} \leq u_{1}) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{u_{1} y_{2}} f_{Y_{1}, Y_{2}} (y_{1}, y_{2}) d y_{1} d y_{2}

$P(U_1\le u_1)=\int_0^1\int_0^{u_1y_2}f_{Y_1,Y_2}(y_1,y_2)dy_1dy_2$

P (U_{2} \leq u_{2}) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{u_{2} y_{3}} f_{Y_{2}, Y_{3}} (y_{2}, y_{3}) d y_{2} d y_{3}

$P(U_2\le u_2)=\int_0^1\int_0^{u_2y_3}f_{Y_2,Y_3}(y_2,y_3)dy_2dy_3$ 次に実行する手順は？

— クワーティ
ソース

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この問題を解決するためのガイドは次のとおりです（他の人も同様）。 シミュレーション値を使用して説明するため、密度分布から多数の独立した実現をシミュレートすることから始めましょう。（この回答のコードはすべてで記述されています。） $f$ R

n <- 4e4 # Number of trials in the simulation
x <- matrix(pmax(runif(n*3), runif(n*3)), nrow=3)

# Plot the data
par(mfrow=c(1,3))
for (i in 1:3) {
  hist(x[i, ], freq=FALSE, main=paste("i =", i))
  curve(f(x), add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}

$40,000$ $f$

$(Y_1, Y_2, Y_3)$

y <- apply(x, 2, sort)

# Plot the order statistics.
f <- function(x) 2*x
ff <- function(x) x^2
for (i in 1:3) {
  hist(y[i, ], freq=FALSE, main=paste("i =", i))
  k <- factorial(3) / (factorial(3-i)*factorial(1)*factorial(i-1))
  curve(k * (1-ff(x))^(3-i) * f(x) * ff(x)^(i-1), add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}

$40,000$ $Y_1$ $Y_3$ $Y_2$

$(U_1, U_2)$

F (u_{1}, u_{2}) = Pr (U_{1} \leq u_{1}, U_{2} \leq u_{2}) = Pr (Y_{1} \leq u_{1} Y_{2}, Y_{2} \leq u_{2} Y_{3}) .

$F(u_1, u_2) = \Pr(U_1 \le u_1, U_2 \le u_2) = \Pr(Y_1 \le u_1 Y_2, Y_2 \le u_2 Y_3).$

の結合密度を計算したので、これは、右手確率で表される（三重）積分を実行する日常的な問題です。統合の領域は $(Y_1, Y_2, Y_3)$

0 \leq Y_{1} \leq u_{1} Y_{2}, 0 \leq Y_{2} \leq u_{2} Y_{3}, 0 \leq Y_{3} \leq 1.

$0 \le Y_1 \le u_1 Y_2,\ 0 \le Y_2 \le u_2 Y_3,\ 0 \le Y_3 \le 1.$

シミュレーションにより、がどのように分布しているかを知ることができます。これは実現値の散布図です。あなたの理論的な答えはこの密度を説明する必要があります。 $(U_1, U_2)$ $(U_1, U_2)$

par(mfrow=c(1,1))
u <- cbind(y[1, ]/y[2, ], y[2, ]/y[3, ])
plot(u, pch=16, cex=1/2, col="#00000008", asp=1)

チェックとして、周辺分布を見て、理論解と比較する場合があります。赤い曲線として示されている周辺密度は、およびとして取得されます。 $\partial F(u_1, 1)/\partial u_1$ $\partial F(1, u_2)/\partial u_2$

par(mfrow=c(1,2))
hist(u[, 1], freq=FALSE); curve(2*x, add=TRUE, col="Red", lwd=2)
hist(u[, 2], freq=FALSE); curve(4*x^3, add=TRUE, col="Red", lwd=2)
par(mfrow=c(1,1))