注：これは宿題の問題ですので、完全な答えは出さないでください。

正規分布の2つの変数AとBがあります（平均と分散は既知です）。Cが50％の確率でA、50％の確率でBとして定義されているとします。Cも正規分布しているかどうかをどのように証明しますか？そうである場合、その平均と分散は何ですか？

AとBのPDFをこのように組み合わせる方法はわかりませんが、理想的には、誰かが私を正しい方向に向けることができる場合、私の攻撃計画はCのPDFを派生させて、それがaであるかどうかを示すことです通常のPDFのバリエーション。

うまくいけば、Cが正常であるとは限らないことは明らかです。しかし、あなたの質問の一部は、そのPDFを書き留める方法でした。@BallpointBenはあなたにヒントを与えました。それで足りない場合は、ここにネタバレがあります...

Cは次のように書くことができることに注意してください for Bernoulli random with with独立の。これは、多かれ少なかれ、英語のステートメントの標準的な数学的翻訳です。「Cは50％の確率でA、Bは50％の確率で」

$$C = T \cdot A + (1-T) \cdot B$$ $T$$P(T=0)=P(T=1)=1/2$$T$$(A,B)$

さて、ここから直接CのPDFを決定することは難しいようですが、あなたはでき書き留めることで進歩を遂げる分布関数 あなたがイベントに分割することができC.のを（の値に応じて、2つのサブイベントに書き込みに） ：$F_C$$C \leq X$$T$

$$F_C(x) = P(C \leq x) = P(T = 0 \text{ and } C \leq x) + P(T = 1\text{ and C }\leq x)$$

Cの定義とTとBの独立性により、次のようになります。

$$P(T=0\text{ and }C \leq x) = P(T=0\text{ and }B\leq x) = \frac12P(B\leq x) = \frac12 F_B(x)$$

場合と同様の結果を使用して、およびに関してを書き込むことができるはずです。CのPDFを取得するには、xに関してを微分するだけです。$T=1$$F_C$$F_A$$F_B$$F_C$

50〜50のランダム混合のシミュレーション $\mathsf{Norm}(\mu=90, \sigma=2)$ そして $\mathsf{Norm}(\mu=100, \sigma=2)$以下に示します。Rでのシミュレーション

set.seed(827);  m = 10^6
x1 = rnorm(m, 100, 2);  x2 = rnorm(m, 90, 2)
p = rbinom(m, 1, .5)
x = x1;  x[p==1] = x2[p==1]
hist(x, prob=T, col="skyblue2", main="Random 50-50 Mixture of NORM(90,2) and NORM(100,2)")
  curve(.5*(dnorm(x, 100, 2) + dnorm(x, 90, 2)), add=T, col="red", lwd=2)

これに取り組む方法の1つは、分散が0になる傾向があるときに分析することです。これにより、ベルヌーイのような分布が得られます。これは、（明らかに）正規分布ではありません。

これは、確率変数の累積確率分布関数であるCDFの概念を使用すると非常に役立つ種類の問題です。この変数は、pdfを使用するだけで喜んでいる学生を混乱させるために教授がドラッグするまったく不要な概念です。

定義により、CDFの価値 $F_X(\alpha)$ 確率変数の $X$ 確率に等しい $X$ 実数以下 $\alpha$、 あれは、

$$F_X(\alpha) = P\{X \leq \alpha\}, ~-\infty < \alpha < \infty.$$ さて、全確率の法則は、 $X$ 同様に確率変数と同じである可能性が高い $A$ または確率変数 $B$、その後 $$P\{X \leq \alpha\} = \frac 12 P\{A \leq \alpha\} + \frac 12 P\{B \leq \alpha\},$$ または、言い換えれば、 $$F_X(\alpha\} = \frac 12 F_A(\alpha\} + \frac 12 F_B(\alpha\}.$$ 連続ランダム変数の場合、pdfがCDFの導関数であるということについて、教授が退屈にこなしていたことを思い出してください。 $$f_X(\alpha\} = \frac 12 f_A(\alpha\} + \frac 12 f_B(\alpha\} \tag{1}$$ これはあなたの質問の1つに答えます。通常の確率変数の特別な場合$A$ そして $B$、あなたはどうかを理解できますか $(1)$ の正規密度を与える $X$か否か？次のような概念に精通している場合 $$E[X] = \int_{-\infty}^\infty \alpha f_X(\alpha\} \, \mathrm d\alpha, \tag{2}$$ の右側を置き換えることで、あなたは理解できますか $(1)$ のために $f_X(\alpha)$ に $(2)$ 表現について考えると $E[X]$ の面で $E[A]$ そして $E[B]$？

$C$ でない限り正規分布ではありません $A$ そして $B$同じように配布されます。もし$A$ そして $B$ ただし、同じように配布されます $C$ 同様に配布されます。

証明

しましょう $F_A$、 $F_B$ そして $F_C$ それぞれ、A、B、Cの累積分布関数（CDF） $f_A$、 $f_B$ そして $f_C$ それらの確率密度関数（PDF）、すなわち

$$\begin{array}{l} F_A(x) = \Pr(A < x), \\ F_B(x) = \Pr(B < x), \\ F_C(x) = \Pr(C < x), \\ f_A(x) = \frac{d}{dx}F_A(x), \\ f_B(x) = \frac{d}{dx}F_B(x),\text{ and} \\ f_C(x) = \frac{d}{dx}F_C(x). \end{array}$$

また、2つのイベントがあります。

• $\Gamma_1$、それはいつ $C$ と定義されている $A$、確率で発生します $\gamma$
• $\Gamma_2$、それはいつ $C$ と定義されている $B$、確率で発生します $1 - \gamma$

全確率の法則によれば、

$$\begin{array}{rl} F_C(x) \!\!\!\! & = Pr(C < x)\\ & = \Pr(C < x\ |\ \Gamma_1 )\Pr(\Gamma_1) + \Pr(C < x\ |\ \Gamma_2 )\Pr(\Gamma_2) \\ & = \Pr(A < x)\Pr(\Gamma_1) + \Pr(B < x)\Pr(\Gamma_2)\\ & = \gamma F_A(x) + (1 - \gamma) F_B(x). \end{array}$$

したがって、

$$\begin{array}{rl} f_C(x) \!\!\!\! & = \frac{d}{dx} F_C(x)\\ & = \frac{d}{dx}(\gamma F_A(x) + (1 - \gamma) F_B(x)) \\ & = \gamma\left(\frac{d}{dx} F_A(x)\right) + (1 - \gamma) \left(\frac{d}{dx}F_B(x)\right) \\ & = \gamma f_A(x) + (1 - \gamma) f_B(x), \end{array}$$

それ以来 $\gamma = 0.5,$

$$f_C(x) = 0.5 f_A(x) + 0.5 f_B(x).$$

また、正規分布のPDFは正のガウス関数であり、2つの正のガウス関数の合計は、2つのガウス関数が線形従属である場合にのみ正のガウス関数になるため、$C$ 正規分布するのは、 $A$ そして $B$ 同じように配布されます。

もし $A$ そして $B$ 同じように分布している $f_A(x) = f_B(x) = f_C(x)$、 そう $C$ 同様に配布されます。