IID正規確率変数のセットの中央値の平均と分散は何ですか？

レッツ、...、同一の独立を持つ確率変数配布さ$X_1$$X_n$$N(\mu, \sigma^2)$

サンプル平均が。$\bar{X} = \frac{1}{n}\sum^n_{i = 0}{X_i}$$N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$

ただし、サンプルの中央の分布が何であるか、特にその平均値と分散値を見つけるのに苦労しています。$median(X)$

2つの条件間で実行する必要があるテストの数を減らすために、定義済みのグループにいくつかの機能をまとめようとしているので、質問します。

これに対する単純な答えがない場合、私が疑っているように、私は分散、特にとの違いを知ることに興味があります。$median(X)$$\bar{X}$

中央値は、観測数が奇数の場合の中心的な順序の統計です。もしその後も中央値は、使用する中央値の定義に応じて、順序統計量、または2つの順序統計（または何か他）の平均値のいずれかです。$n$

したがって、順序統計の分布に基づいて、中央値の正確な分布を計算できます。累積分布 pdfからすべてのがiidである奇数場合、中央値の分布は次のとおりです。$n$$x$$f$$F$

$\binom{n-1}{(n-1)/2} F(x)^{\frac{n-1}2} f(x) (1-F(x))^{\frac{n-1}2}$

「注文統計の分布」をグーグルして、詳細と導出を取得できます。

通常の場合、閉形式の解はありませんが、上記の推定に役立つ計算ツールがあります（1つの可能性については、Rのdistrパッケージを参照してください）。$F(x)$

主な目標が中央値の分散の推定だけである場合、より単純なアプローチは、一連のデータセットをシミュレートし、中央値の分散（および比較のための平均の分散）を計算することです。

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