従属変数の合計のPDF

これは私の最近の質問の直接の続きです。実際に取得したいのは、ここは均一です。これで、が上記のスレッドで正常に計算されました。これをと呼びましょう。の分布は、単にです。最後のステップは、との合計の分布を前の方法と同様の方法ですることですが、と、B、C、D[0、1]（-D）2+4bはC$a+d+\sqrt{(a-d)^2+4bc}$$a,b,c,d$$[0,1]$$(a-d)^2+4bc$$h(x)$ H（X2）⋅2XX=A+DY=$\sqrt{(a-d)^2+4bc}$$h(x^2)\cdot 2x$$X=a+d$$Y=\sqrt{(a-d)^2+4bc}$$X$$Y$ 独立していないので、今は行き詰まっており、どこから始めればよいのかもわかりません。

注意することは有用であり得ることを部品ルートの下、後者（すなわち、および）は簡単に計算できます。次に、との分布を知っているの分布に興味があります。 X2=（a+d）2W=−4（ad−bc）X+$\sqrt{(a-d)^2+4bc}=\sqrt{(a+d)^2-4(ad-bc)}$$X^2=(a+d)^2$$W=-4(ad-bc)$ X$X+\sqrt{X^2+W}$$X$$\sqrt{X^2+W}$

変数の有用な変更はありません。条件付き確率を使用することを考えましたが、どのように見つけることができますか？私はあまりにも進んでいる可能性があり、おそらくいくつかのステップに戻る必要があります。$f(\sqrt{X^2+W}\Big|X)$

このようなものを計算することも可能ですか？

結果のディストリビューションは次のようになります。

編集：受け入れられた答えは私が探していた解決策を与えます、しかし私はまだそれを分析的に導き出す方法に興味があります。つまり、私の前の質問で、CDFは積分として与えられました。

$\int_0^4 F(\delta-y)g(y)dy$

と単純な関数で与えられます。理論的には、ペンと紙を使用して統合できます。もちろん、ソフトウェアの使用は自然なことです。しかし、私はまだここで閉じた形式の答えを出す方法に興味があります。オオカミの答えはベルを鳴らしますが...そのような（比較的）複雑な関数の3つのPDFの畳み込み？$F$$g$

次のpdfを見つけます： ここで、はiid$\quad A+D+\sqrt{(A-D)^2+4BC}, \quad$U N I F O R M （0 、1 $A,B,C,D$$Uniform(0,1)$

LET、 PDFを有する： 。$U = 4 BC$$U$$\quad g(u) = \frac{1}{4} \log \left(\frac{4}{u}\right) \quad \text{for } 0<u<4$

これにより、問題が4つの独立したランダム変数から3つに減少します。次に、独立して、の結合pdf はです。f （a 、d 、u $(A,D,U)$$f(a,d,u)$

LET。の累積分布関数はです。 ZP（Z<z$Z = A+D+\sqrt{(A-D)^2+4BC}$$Z$$P(Z<z)$

ここで、MathematicaProbのmathStaticaパッケージの関数を使用して、重要な点を自動化しています。

のpdfは、後者のwrt導関数であり、解を生成します。$Z$$z$

全部終わった。

以下は、正確な理論的確率密度関数のプロットです。$Z$

モンテカルロチェック

次の図は、pdf（波線）の経験的モンテカルロ近似を、上記で導出された理論pdf（赤い破線）と比較しています。元気そう。

ウルフィーの答えを読んだ直後、私はすべての中間ステップなしで最初から最終分布を計算できることを理解しました：

M[x_] := M[x] = Evaluate@FullSimplify@ Integrate[ Boole[a + d + Sqrt[(a - d)^2 + 4 b c] <= x], {a, 0, 1}, {b, 0, 1}, {c, 0, 1}, {d, 0, 1}] CDFを与え、

m[x_] := m[x] = Evaluate@FullSimplify@D[M[x], x] 私のシミュレーションで完璧に機能するPDFを提供します：

これは私の前の質問への回答のアプローチを直接使用します。