が非負の確率変数では減少しないことを証明する

非負の確率変数場合、がで非減少であることをどのように証明しますか？ $X$ $E(X^n)^{\frac1n}$ $n$

mathematical-statistics random-variable moments

代わりにを書くと、「」で示される整数だけでなく、任意の正の実数にすることができます。 $p$ $n$ $n$

後続の計算を簡略化するために、いくつかの標準的な予備変換を行ってみましょう。を再スケールしても、結果は変わりません。がほぼゼロの場合、結果は自明です。そのため、が非ゼロであると仮定します。これにより、すべてのも非ゼロになります。今修正と分割によってその結果一般性を失うことなく有します。 $X$ $X$ $\mathbb{E}(X)$ $\mathbb{E}(X^p)$ $p$ $p$ $X$ $\mathbb{E}(X^p)^{1/p}$

\begin{matrix} (1) & E (X^{p}) = 1, \end{matrix}

$\mathbb{E}(X^p) = 1\tag{1},$

これが、最初にそれを理解しようとしているときに、推論がどのように進むかであり、一生懸命働かないようにしようとしている場合です。各ステップの詳細な正当性についてはお任せします。

式は、対数が非減少の場合にのみ非減少です。その対数は微分可能であり、したがって、その導関数が非負である場合にのみ減少しません。を利用して、期待内で微分することにより）この導関数を次のように計算できます。 $\mathbb{E}(X^p)^{1/p}$ $(1)$

\frac{d}{d p} \log (E (X^{p})^{1 / p}) = - \frac{1}{p^{2}} \log E (X^{p}) + \frac{E (X^{p} \log X)}{E (X^{p})} = \frac{1}{p} E (X^{p} \log (X^{p})) .

$\frac{d}{dp}\log\left( \mathbb{E}(X^p)^{1/p} \right) = -\frac{1}{p^2}\log\mathbb{E}(X^p) + \frac{\mathbb{E}(X^p \log X)}{\mathbb{E}(X^p)} = \frac{1}{p}\mathbb{E}(X^p \log(X^p)).$

書き込み、右手側があれば非負である場合にのみしかし、これは直接的な結果であるジェンセンの不等式関数に適用される（非負の実数では連続、正の実数では微分可能）、2回微分すると $Y=X^p$

E (Y \log (Y)) \geq 0.

$\mathbb{E}(Y\log(Y)) \ge 0.$

f (y) = y \log (y)

$f(y) = y\log(y)$

場合は

、

は非負の実数上の凸関数であり、

f^{''} (y) = \frac{1}{y} > 0

$f^{\prime\prime}(y) = \frac{1}{y}\gt 0$

y > 0

$y\gt 0$

f

$f$

E (Y \log Y) = E (f (Y)) \geq f (E (Y)) = f (1) = 0,

$\mathbb{E}(Y \log Y) = \mathbb{E}(f(Y)) \ge f\left(\mathbb{E}(Y)\right) = f(1) = 0,$

QED。

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エドワードネルソンは素晴らしく簡潔なデモンストレーションを提供します。（標準）表記の問題として、定義します for （および）。関数 $||x||_p = \mathbb{E}(|x|^p)^{1/p}$ $1 \lt p \lt \infty$ $||x||_\infty = \sup |x|$ $f(x) = |x|^p$ 凸である、彼は結論にジェンセンの不等式を適用します

| E (x) |^{p} \leq E (| x |^{p}) .

$|\mathbb{E}(x)|^p \le \mathbb{E}(|x|^p).$

ここに、残りのデモを彼自身の言葉で示します。

$|x|$
$| | x | |_{1} \leq | | x | |_{p},$ $||x||_1 \le ||x||_p,$ $|x|^r$ $1 \le r \lt \infty$ $| | x | |_{r} \leq | | x | |_{r p},$ $||x||_r \le ||x||_{rp},$ $||x||_p$ $p$ $1 \le p \le \infty$

参照

エドワードネルソン、根本的に初等確率理論。 プリンストン大学出版局（1987）：p。5。

— whuber
ソース

の導関数をどのように計算したのですか？

l o g (E (X^{p})^{\frac{1}{p}})

$log(E(X^p)^{\frac{1}{p}})$

であるため、私は製品ルールを使用しました

\log (E (X^{p})^{1 / p}) = \frac{1}{p} \log E (X^{p}) .

$\log\left(\mathbb{E}(X^p)^{1/p}\right)=\frac{1}{p}\ \log\mathbb{E}(X^p).$

E (X^{p}) = 1

$E(X^p)=1$

E (X^{p})^{\frac{1}{p}}

$E(X^p)^{\frac{1}{p}}$

の導関数で2番目の項を乗算しなかったのはなぜですか

l o g (E (X^{p})^{(} \frac{1}{p})

$log(E(X^p)^(\frac{1}{p})$

\frac{1}{p}

$\frac1p$

p

$p$