タグ付けされた質問 「stability」

数値アルゴリズムにおける誤差の伝播の研究。

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Python用の高品質な非線形プログラミングソルバーはありますか？
解決すべきいくつかの挑戦的な非凸のグローバル最適化問題があります。現在、MATLABのOptimization Toolbox（特にfmincon()algorithm ='sqp'を使用）を使用していますが、これは非常に効果的です。ただし、私のコードのほとんどはPythonで作成されているため、Pythonでも最適化を行いたいと考えています。競合できるPythonバインディングを備えたNLPソルバーはありfmincon()ますか？ちがいない 非線形等式および不等式の制約を処理できる ユーザーがヤコビアンを提供する必要はありません。 グローバルな最適化を保証していなくても構いません（保証fmincon()しません）。私は、困難な問題や、それよりもわずかに遅い場合でも、ローカル最適にロバストに収束するものを探していfmincon()ます。 OpenOptで利用できるソルバーをいくつか試しましたが、MATLABのソルバーより劣っていfmincon/sqpます。 強調するために、私はすでに扱いやすい定式化と優れたソルバーを持っています。私の目標は、ワークフローをより合理化するために、単に言語を変更することです。 Geoffは、問題のいくつかの特性が関連している可能性があると指摘しています。彼らです： 10-400の決定変数 4〜100の多項式等式制約（1〜8の範囲の多項式次数） 決定変数の数の約2倍に等しい合理的な不等式制約の数 目的関数は決定変数の1つです 不等式制約のヤコビアンと同様に、等式制約のヤコビアンは密です。
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PDEの数値解が連続解に収束しているかどうかを判断する方法は？
ラックスの等価定理は、直線状の初期値問題の数値スキームの一貫性と安定性が収束するための必要十分条件である状態。しかし、非線形問題の場合、一貫性があり安定しているにもかかわらず、数値的手法は誤った結果に非常に合理的に収束する可能性があります。たとえば、このホワイトペーパーでは、1次元線形化浅水方程式に適用された1次ゴドノフ法が、不正解にどのように収束するかを示しています。 メッシュと時間ステップの洗練の下で明らかに自己収束は十分ではありませんが、正確な解は一般に非線形PDEには利用できません。
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ログサムの壊滅的なキャンセル
相対誤差の少ない倍精度浮動小数点で次の関数を実装しようとしています。 logsum(x,y)=log(exp(x)+exp(y))logsum(x,y)=log⁡(exp⁡(x)+exp⁡(y))\mathrm{logsum}(x,y) = \log(\exp(x) + \exp(y)) これは統計アプリケーションで広く使用され、ログスペースで表される確率または確率密度を追加します。もちろん、またはは簡単にオーバーフローまたはアンダーフローする可能性がありますが、そもそもログスペースがアンダーフローを回避するために使用されるため、これは悪いことです。これが典型的な解決策です。exp(x)exp⁡(x)\exp(x)exp(y)exp⁡(y)\exp(y) logsum(x,y)=x+log1p(exp(y−x))logsum(x,y)=x+log1p(exp⁡(y−x))\mathrm{logsum}(x,y) = x + \mathrm{log1p}(\exp(y - x)) からのキャンセルは発生しますが、によって軽減されます。さらに悪いのは、とが近い場合です。相対誤差プロットは次のとおりです。y−xy−xy-xexpexp\expxxxlog1p(exp(y−x))log1p(exp⁡(y−x))\mathrm{log1p}(\exp(y - x)) プロットはれ、キャンセルが発生する曲線の形状を強調します。最大までのエラーが表示されましたが、さらに悪化すると思われます。（FWIW、「グラウンドトゥルース」関数は、128ビット精度のMPFRの任意精度の浮動小数点を使用して実装されます。） l o g s u m（x 、y ）= 0 10 − 1110−1410−1410^{-14}logsum(x,y)=0logsum(x,y)=0\mathrm{logsum}(x,y) = 010−1110−1110^{-11} 私は他の改革を試みましたが、すべて同じ結果になりました。外側の式と、同じエラーがで1近く何かのログを取ることによって発生外側の表現として、キャンセルは、内側の式で行わ。l o g 1 ploglog\loglog1plog1p\mathrm{log1p} 現在、絶対誤差は非常に小さいため、相対誤差は非常に小さくなっています（イプシロン内）。ユーザーは（ログ確率ではなく）確率に本当に関心があるので、このひどい相対誤差は問題ではないと主張するかもしれません。通常はそうではない可能性がありますが、私はライブラリ関数を書いています。そのクライアントは、丸め誤差よりもそれほど悪くない相対誤差を期待できるようにしたいと思います。l o g s u mexp(logsum(x,y))exp⁡(logsum(x,y))\exp(\mathrm{logsum}(x,y))logsumlogsum\mathrm{logsum} 新しいアプローチが必要なようです。何だろう？
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オクターブのユークリッド距離
Octaveの2つのベクトルのユークリッド距離をすばやく計算する方法があるかどうかを知りたいです。そのための特別な関数はないようですので、単に式を使用する必要がありsqrtますか？
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双曲線PDEの統合で暗黙的メソッドを使用する必要があるのはいつですか？
PDE（またはODE）を解くための数値的手法は、明示的手法と暗黙的手法の2つの大きなカテゴリに分類されます。暗黙的な方法では、より大きな安定したタイムステップが可能ですが、ステップごとにより多くの作業が必要です。双曲線PDEの場合、CFL条件で許可されているタイムステップよりも大きいタイムステップを使用すると非常に不正確な結果になるため、通常、暗黙のメソッドは成果を上げません。ただし、場合によっては暗黙的なメソッドが使用されます。特定のアプリケーションに対して、明示的メソッドを使用するか暗黙的メソッドを使用するかをどのように選択する必要がありますか？
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メッシュ依存の安定性を持つ要素の有用性
3Dストークス問題の要素の安定性に関連するいくつかの数学を行った後、が任意の四面体メッシュに対して安定でないことを認識するために少しショックを受けました。より正確には、すべてのノードと4つのファセットのうち3つがディリクレ条件のドメインの境界にある要素がある場合、特異行列が得られます。これは実際、ストークスシステムの弱い形式から結論づけるのはかなり簡単です。P2− P1P2−P1P_2-P_1 （COMSOL）にアクセスできる唯一の商用Stokesコードをテストしたところ、このようなメッシュを作成できました。解決をクリックすると、予想どおり「エラー：特異行列」が表示されます。（私は、COMSOLがクリーピングフローモジュールにを使用しているという印象を受けています。）P2− P1P2−P1P_2-P_1 問題が他の構成に関連していないことをさらにテストするために、次のメッシュを試してみましたが、すべてが期待どおりに機能します。 質問：この種の制約は（適応型または非適応型）メッシュジェネレーターで考慮されますか？さまざまな研究論文から、この要素は非常に人気があるようです。これらの種類の境界不安定性は、一般に、使用する方法を選択する際に重要でないと見なされますか？さらに重要なことは、安定した有限要素を持つことは本当に何を意味するのか、つまり、どのようなメッシュ依存の不安定性が大きすぎて、方法が悪いと結論付けるのですか？
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5次ルンゲクッタ法の安定領域に関する不可解な発言
論文で不可解な発言に出くわした PJ van der Houwen、偏微分方程式のためのルンゲクッタ法の開発、Appl。数 数学。20：261、1996 264ページの8ff行目に、van der Houwenは次のように書いています。 "テイラー多項式の場合、これは仮想安定間隔のために空であることを意味し "P = 1 、2 、5 、6 、9 、10 、⋯p=1、2、5、6、9、10、⋯p = 1, 2, 5, 6, 9, 10, \cdots ここで、テイラー多項式は安定多項式（の切り捨て膨張を指すの周りにルンゲ・クッタ法の）、pは次数である（ページ263を参照）。5次のルンゲクッタ法には、私の知る限り空の虚安定区間がないため、何かを誤解していると思います。私が覚えていることから、想像上の限界は約3.4程度です。exp（x ）exp⁡（バツ）\exp(x)x = 0バツ=0x=0 私の誤解は何ですか？
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有限差分の近似ヤコビアンは、ニュートン法の不安定性を引き起こすことができますか？
私はpython 3に後方オイラーソルバーを実装しました（numpyを使用）。私自身の便宜と演習として、勾配の有限差分近似を計算する小さな関数を作成しました。これにより、ヤコビアンを常に分析的に決定する必要はありません（可能な場合でも！）。 Ascher and Petzold 1998で提供された説明を使用して、特定のポイントxで勾配を決定するこの関数を作成しました。 def jacobian(f,x,d=4): '''computes the gradient (Jacobian) at a point for a multivariate function. f: function for which the gradient is to be computed x: position vector of the point for which the gradient is to be computed d: parameter to determine perturbation value eps, …
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差分法のフォンノイマン安定性解析の代替
私は、結合された1次元多孔質弾性方程式（biotのモデル）の解決に取り組んでいます。 −(λ+2μ)∂2u∂x2+∂p∂x=0−(λ+2μ)∂2u∂x2+∂p∂x=0-(\lambda+ 2\mu) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial p}{\partial x} = 0 ドメイン上でΩ=（0、1）と境界条件： ∂∂t[ γp + ∂あなたは∂バツ] - κη[ ∂2p∂バツ2] =q（x 、t ）∂∂t[γp+∂あなたは∂バツ]−κη[∂2p∂バツ2]=q（バツ、t）\frac{\partial}{\partial t} \left[ \gamma p + \frac{\partial u}{\partial x}\right] -\frac{\kappa}{\eta}\left[\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}\right] =q(x,t)Ω = （0 、1 ）Ω=（0、1）\Omega=(0,1) でのx=0とU=0、∂PP = 0 、（λ + 2 μ ）∂あなたは∂バツ= − u0p=0、（λ+2μ）∂あなたは∂バツ=−あなたは0p=0, (\lambda …
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数値安定性のヒューリスティックチェック
数値的に評価したい変数x iの実数値関数があると仮定します。一般に、fの式には積、有理数、超越関数などが含まれる可能性があり、その数値的安定性を分析的に調査するのは長くなります。または、少なくとも実際にそれを行うには時間がかかります。安定性を保証する同等の短いものがないと仮定します。fの数値安定性を分析するための系統的な手順はありますかf(x1,…,xN)f(x1,…,xN)f(x_1,\ldots ,x_N)xixix_iffffff。コンピューター代数システムを使用して得られた任意の精度の結果と比較することを考えています。関数は、stdlib関数と単精度または倍精度を使用してCで実装されます。有限精度での近似の品質を定量化するには、どの量を比較する必要がありますか？変数の重要な値を判断するにはどうすればよいですか？他の人が結果を簡単に再現できるように、コンパイラとコンパイラ最適化を選択するにはどうすればよいですか？...問題の設定は、適切な答えを出すためにおそらく汎用的なものであることを知っています。しかし、これはコンピューターサイエンスの一般的な問題であり、そのような分析を実行するための標準を提案する参考文献があるのではないかと考えています。
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異方性境界メッシュを使用した非圧縮性の流れに対してどのような空間離散化が機能しますか？
高レイノルズ数の流れは、非常に薄い境界層を生成します。ラージエディシミュレーションで壁の解像度が使用される場合、アスペクト比はオーダーになる場合があります10610610^6。inf-sup定数はアスペクト比の平方根またはそれ以下に低下するため、多くの方法はこの体制で不安定になります。inf-sup定数は、線形システムの条件数と離散解の近似特性に影響するため重要です。特に、次の離散誤差ホールドの先験的境界（Brezzi and Fortin 1991） μ∥u−uh∥H1≤C[μβinfv∈V∥u−v∥H1+infq∈Q∥p−q∥L2]∥p−ph∥L2≤Cβ[μβinfv∈V∥u−v∥H1+infq∈Q∥p−q∥L2]μ‖u−uh‖H1≤C[μβinfv∈V‖u−v‖H1+infq∈Q‖p−q‖L2]‖p−ph‖L2≤Cβ[μβinfv∈V‖u−v‖H1+infq∈Q‖p−q‖L2]\begin{split} \mu \lVert {\mathbf u} - \mathbf u_h \rVert_{H^1} \le C \left[ \frac{\mu}{\beta} \inf_{\mathbf v \in \mathcal V} \lVert{\mathbf u - \mathbf v}\rVert_{H^1} + \inf_{q \in \mathcal Q} \lVert p-q \rVert_{L^2} \right] \\ \lVert{p - p_h}\rVert_{L^2} \le \frac{C}{\beta} \left[ \frac{\mu}{\beta} \inf_{\mathbf v \in \mathcal V} \lVert{\mathbf …
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演算の順序、数値アルゴリズム
読んだ （1）条件の悪い操作は、条件の良い操作の前に実行する必要があります。 例として、乗算はそうで​​はないのに減算は悪条件なので、x z− yzバツz−yzxz-yzをとして計算する必要（x − y）z（バツ−y）z(x-y)zがあります。 ただし、両方のアルゴリズムの1次エラー分析では、3倍（*）だけ異なることがわかり、これをステートメント（1）に一般化できる理由もわかりません。また、その重要性を直感的に把握していません。操作の順序。ステートメントは（1）は受け入れられたルールであると思いますか、それについて他の説明がありますか？ *：より具体的には、最初のバージョンには、 eps+3|x|+|y||x|−|y|epseps+3|x|+|y||x|−|y|eps\text{eps}+3\frac{|x|+|y|}{|x|-|y|}\text{eps}第二のバージョンの相対誤差がで囲まれている間 3eps+|x|+|y||x|−|y|eps3eps+|x|+|y||x|−|y|eps3\text{eps}+\frac{|x|+|y|}{|x|-|y|}\text{eps} ここで、epseps\text{eps}はマシンの精度です。 ことをこの分析は、仮定に基づいているi私i番目の中間結果を用いて乗算される(1+εi)(1+εi)(1+\varepsilon_i)（丸め誤差に）、εiεi\varepsilon_iによって囲まIIDランダム変数であるepseps\text{eps}。「一次」とは、ような高次の項ϵiϵjxϵiϵjバツ\epsilon_i\epsilon_jxが無視されることを意味します。
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放物線状偏微分方程式を解くいくつかの方法の安定性特性に関する良い参考資料はどこにありますか？
現在、私はCrank-Nicholsonアルゴリズムを使用するコードを持っていますが、タイムステッピングについてはより高次のアルゴリズムに移行したいと思います。クランクニコルソンアルゴリズムは、使用したいドメインで安定していることは知っていますが、他のアルゴリズムが安定していない可能性があることを心配しています。 アルゴリズムの安定領域を計算する方法を知っていますが、それはちょっと面倒なことです。放物線状偏微分方程式の多数のタイムステッピングアルゴリズムの安定性の特性に関する優れたリファレンスを知っている人はいますか？
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SVDを安定させるためにどれだけの正則化を追加しますか？
インテルMKLのSVD（dgesvdSciPyを介して）を使用していて、マトリックスの条件が悪い/フルランクではない場合float32と精度を変更すると、結果が大幅に異なることに気付きましたfloat64。結果がfloat32-> float64変更の影響を受けないようにするために追加する必要がある正則化の最小量に関するガイドはありますか？ 際、特に、、Iはその参照L ∞ノルムV T Xの Iとの間の精度を変更した場合約1による移動とを。AのL 2ノルムは10 5であり、合計784のうち約200のゼロ固有値があります。A = UD VTA=UDVTA=UDV^{T}L∞L∞L_\inftyVTバツVTXV^{T}Xfloat32float64L2L2L_2あAA10510510^5 上のSVDをやっでλ = 10 - 3は違いワニスを作りました。λ I+ AλI+A\lambda I + Aλ = 10− 3λ=10−3\lambda=10^{-3}
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フォンノイマンの安定性分析は、非線形有限差分方程式について何を教えてくれますか？
以下の非線形方程式u t + u x + u u x − u x x t = 0 を有限差分法を使って解く論文[1]を読んでい ます。また、フォンノイマンの安定性分析を使用してスキームの安定性を分析します。ただし、作成者が認識しているように、これは線形PDEにのみ適用できます。したがって、著者は非線形項を「フリーズ」することでこれに対処します。つまり、u u x項をU u xに置き換えます。ここで、Uは「あなたt+ uバツ+ u uバツ− Ux x t= 0あなたt+あなたバツ+あなたあなたバツ−あなたバツバツt=0\begin{equation} u_t + u_x + uu_x - u_{xxt} = 0 \end{equation}U Uバツあなたあなたバツuu_xUあなたバツUあなたバツUu_xUUU。」あなたあなたu だから私の質問は2つあります： 1：この方法を解釈する方法となぜそれが機能しない（しない）のか？ 2：項をu U x項で置き換えることもできます。ここで、U xは「u xの局所的に一定の値を表すと見なされます」？U Uバツあなたあなたバツuu_xu UバツあなたUバツuU_xUバツUバツU_xあなたバツあなたバツu_x 参考文献 …
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