5次ルンゲクッタ法の安定領域に関する不可解な発言

論文で不可解な発言に出くわした

PJ van der Houwen、偏微分方程式のためのルンゲクッタ法の開発、Appl。数数学。20：261、1996

264ページの8ff行目に、van der Houwenは次のように書いています。

"テイラー多項式の場合、これは仮想安定間隔のために空であることを意味し " $p = 1, 2, 5, 6, 9, 10, \cdots$

ここで、テイラー多項式は安定多項式（の切り捨て膨張を指すの周りにルンゲ・クッタ法の）、pは次数である（ページ263を参照）。5次のルンゲクッタ法には、私の知る限り空の虚安定区間がないため、何かを誤解していると思います。私が覚えていることから、想像上の限界は約3.4程度です。 $\exp(x)$ $x=0$

私の誤解は何ですか？

numerical-analysis stability runge-kutta

— ブライアン・ザタパティーク
ソース

van der Houwenの記述は正しいですが、すべての5次のルンゲクッタ法に関する記述ではありません。彼が言及している「テイラー多項式」は（ご存じのように）を次数近似する次数の多項式です。 $p$ $\exp(z)$ $p$

P_{p} （ z ） = \sum_{j = 1}^{p} \frac{z^{j}}{j ！}

$P_p(z) = \sum_{j=1}^p \frac{z^j}{j!}$

5次多項式の場合、小さいため、ように方法を有するの安定領域その安定多項式としては、虚軸上の原点の近傍を含んでいません。つまり、正確に言えば、ファンデルハウウェンの言うことです。 $|P_5(i\epsilon)|>1$ $\epsilon$ $P_5(z)$

混乱の原因として最も可能性が高いのは、「5次のルンゲクッタ法」の意味です。5次のルンゲクッタ法は（無限に）多くありますが、最もよく知られている方法には、安定多項式としてがありません。どうして？ ジョン・ブッチャーが有名証明し、五次ルンゲクッタ法は、少なくとも6つのステージを持っている必要があります。通常、6つ（またはそれ以上）のステージを持つメソッドの安定多項式は、6次（またはそれ以上）になります。たとえば、このウィキペディアのページにリストされている5次のメソッドはそれぞれ、正確に6つのステージを使用し、6次の安定多項式を持っています。 $P_5(z)$

5次の方法でを安定多項式として使用することはできますか？はい; 5階の明示的な外挿法（この論文でレビューされた有名なもののような）はそうします。また、安定性多項式を使用したステージのルンゲクッタ法は、線形ODEに対しては5次まで正確ですが、非線形ODEに対しては正確ではないことに注意してください。 $P_5(z)$ $p$ $P_5(z)$

最後に、高次のルンゲクッタ法の虚数安定区間の範囲を決定するとき、間違いを犯しやすいです。これは、そのような方法の安定領域の境界が虚軸に非常に近いためです。したがって、丸め誤差により、誤った結論が導かれる可能性があります。正確な計算のみを使用する必要があります（もちろん、これらの状況下での実用的な目的のための安定領域境界の関連性は、確実に議論されます）。

たとえば、以下はFehlberg 5（4）ペアの5次法の安定領域のプロットです。フェルバーグ安定領域

架空の安定間隔は空ですが、この解像度では画像から判断できません！領域には明らかに虚軸の一部が含まれますが、原点の周りには間隔がありません。

一方、これはDormand-Prince 5（4）ペアの5次法のプロットです。

DP5安定領域

$[-1,1]$

$P_p(z)$

NodePyパッケージにも興味があります。これは、上記のプロットを生成し、メソッドの仮想安定区間などを正確に決定するために使用できます（免責事項：NodePyを作成しました）。

— デビッド・ケッチャソン
ソース

デビッド、いくつかのことを解決してくれたあなたの素晴らしい答えに感謝します。アクセスせずに数日間旅行しようとしています。私はあなたの答えをこのようにぶら下げたくありませんでした。私はそれに戻ります。

— ブライアンZatapatique 14年