双曲線PDEの統合で暗黙的メソッドを使用する必要があるのはいつですか？

PDE（またはODE）を解くための数値的手法は、明示的手法と暗黙的手法の2つの大きなカテゴリに分類されます。暗黙的な方法では、より大きな安定したタイムステップが可能ですが、ステップごとにより多くの作業が必要です。双曲線PDEの場合、CFL条件で許可されているタイムステップよりも大きいタイムステップを使用すると非常に不正確な結果になるため、通常、暗黙のメソッドは成果を上げません。ただし、場合によっては暗黙的なメソッドが使用されます。特定のアプリケーションに対して、明示的メソッドを使用するか暗黙的メソッドを使用するかをどのように選択する必要がありますか？

中心的な問題は、どの物理プロセス（ウェーブまたはソース用語）に、解決に関心のある時間スケールがあり、どのステップをステップオーバーするかです。システムの最速の時間スケールに興味がない場合、方程式は「スティッフ」と呼ばれます。双曲線保存則は通常、一次システムとして書かれています

$$u_t + \nabla\cdot F(u) = G(u,\nabla u,...)$$

ここで、保存された変数が含まれ、Fはフラックスであり、そしてGは「ソースターム」と呼ばれます。この用語では、フラックスFには導関数が含まれないため、拡散項および分散項はGに含まれなければならないことに注意してください。多くの化学反応の問題と同様に、ソースタームが硬い場合や、拡散または分散が存在する場合、暗黙的または半陰的積分を使用することは非常に一般的です。通常、化学反応は各要素で局所的に解決できます。これは、隣接するセルに結合されていないためです。$u$$F$$G$$F$$G$

$A = [\partial F/\partial u]$

たとえば、海洋の長時間の進化をシミュレートしている場合、地表重力波（津波など）に関心がない場合があります。残念ながら、波の速度を変更すると（明示的な方法を使用するために速度を落とすか、投影を使用できる「リジッドリッド」モデルに速度を上げると）、渦の伝播方法が変化して物理が変わります。海洋の渦は、重力波が対流とほぼ平衡しているが、完全ではない効果です。

別の例は、圧縮可能なオイラー、たとえばデータセンターを通る空気流です。音波の速度は対流よりもはるかに速く、熱伝達には後者のみが重要です。音響に興味がない場合は、暗黙的な方法を使用できます。

暗黙的な方法の相対的な効率は、明示的な方法で使用できるステップサイズと比較して、各ステップ/ステージで代数システムを解くコストに依存します。このような代数システムを効率的に解くことは、研究の活発なトピックです。（別の質問をし、私はそれに答え、ここから参照します。）

次の場合は、暗黙的なメソッドを使用することもできます。

• 方程式には、おそらく安定性を特徴付けるために、直接探索したい意味のある定常状態があります
• あなたは長い時間履歴を含む逆/データ同化問題を解決しています
• 一定の安定性を持つ非常に高次の時間積分法を使用するために、注文の障壁を回避したい
• 時空間適応法を使用している
• 代数システムを解く必要がある空間離散化を使用している（例：一貫した質量行列をもつ連続有限要素法）