メッシュ依存の安定性を持つ要素の有用性

3Dストークス問題の要素の安定性に関連するいくつかの数学を行った後、が任意の四面体メッシュに対して安定でないことを認識するために少しショックを受けました。より正確には、すべてのノードと4つのファセットのうち3つがディリクレ条件のドメインの境界にある要素がある場合、特異行列が得られます。これは実際、ストークスシステムの弱い形式から結論づけるのはかなり簡単です。 $P_2-P_1$

（COMSOL）にアクセスできる唯一の商用Stokesコードをテストしたところ、このようなメッシュを作成できました。解決をクリックすると、予想どおり「エラー：特異行列」が表示されます。（私は、COMSOLがクリーピングフローモジュールにを使用しているという印象を受けています。） $P_2-P_1$

問題が他の構成に関連していないことをさらにテストするために、次のメッシュを試してみましたが、すべてが期待どおりに機能します。

質問：この種の制約は（適応型または非適応型）メッシュジェネレーターで考慮されますか？さまざまな研究論文から、この要素は非常に人気があるようです。これらの種類の境界不安定性は、一般に、使用する方法を選択する際に重要でないと見なされますか？さらに重要なことは、安定した有限要素を持つことは本当に何を意味するのか、つまり、どのようなメッシュ依存の不安定性が大きすぎて、方法が悪いと結論付けるのですか？

stability navier-stokes unstructured-mesh

— knl
ソース

興味深い質問です！私が見る限り、これらの要素は通常、キューブなどの構造化された四面体メッシュの生成に起因し、非構造化ノード化アルゴリズムがある実際のアプリケーションではわずかな役割しか果たしません。少し前に試してみましたが、完全に非構造化されたメッシュを生成するメッシュジェネレーターでそのようなメッシュを生成できませんでした。私は彼らがそのような過剰に制約された要素を避けるメカニズムを採用しているのではないかと思います。私はCOMSOLにアクセスできませんが、ほとんどのソルバーにとって、これらの要素は重大な問題を引き起こさないと思います。

— クリスチャンワルガ16年

これもMINI要素の問題なのでしょうか？

— ダニエルシェイプロ16年

MINIにはこの問題はないと思います。単一の内部DOFは状況を保存します。ストークスの一意性条件はです。ましょう。選択します。ここで、はテトラ内のバブルです。これにより、がローカル定数であり、残りが残りを処理します。

(\nabla \cdot v, p) = 0 \forall v \in V_{h} \Rightarrow p = global const.

$(\nabla\cdot v, p)=0~\forall v \in V_h \Rightarrow p =\text{global const.}$

p (x, y) = a + b x + c y

$p(x,y)=a+bx+cy$

v = (b ϕ, c ϕ)

$v=(b\phi,c\phi)$

ϕ

$\phi$

p

$p$

— knl

$p$ $p$

メッシュジェネレーターには一般にこれを処理するオプションがあります。たとえば、2Dメッシュジェネレーターbamgにfreefem++は-splitpbedge、境界に両端があるエッジの中央にノードを追加するオプションがあります。bamg文書によると、非構造化メッシュ生成はそのような三角形を返すことができます。

— ジョス
ソース

これは、たとえば2DストークスのTaylor-Hoodの場合に当てはまりますか？私の直感は、エッジに関連する自由度が状況を救うことを教えてくれます。3D Taylor-Hoodでは、ファセットに関連するDOFがないため、不安定性が発生します。

— knl

そのとおりかもしれません。Taylor-Hoodのinf-sup条件のVerfuhrt証明は、これを確認するのに十分な建設的だと思いますが、今は時間がありません。

— ジョス