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メトリックTSPは以内で近似でき、多項式時間でを近似できないことが知られています。指数時間（たとえば、多項式空間のみでステップ未満）で近似解を見つけることについて何か知られていますか？たとえば、距離が最大ツアーを見つけることができる時間と空間は何ですか？1231.51.51.5 2n1.1×OPT123122123122123\over 1222n2n2^n1.1 × O PT1.1×OPT1.1\times OPT

44 cc.complexity-theory  graph-algorithms  approximation-algorithms  tsp  exp-time-algorithms 

頂点を色のセットにマッピングするすべての関数、すべての頂点に対してような色割り当てがある場合、グラフは選択可能（ -list- colorableとも呼ばれます）です。、すべてのエッジに対して。kkkkkkfffkkkcccvvvc(v)∈f(v)c(v)∈f(v)c(v)\in f(v)vwvwvwc(v)≠c(w)c(v)≠c(w)c(v)\ne c(w) ここで、グラフが選択できないと仮定します。つまり、頂点から有効な色の割り当てを持たない個の色のタプルまでの関数が存在します。私が知りたいのは、必要な色の合計はどれくらいですか？どれくらい小さくできますか？異なる色のみを使用する色付け不可能なを見つけることが保証されるような数（依存しないますか？GGGkkkfffkkkccc∪v∈Gf(v)∪v∈Gf(v)\cup_{v\in G}f(v)N(k)N(k)N(k)GGGfffN(k)N(k)N(k) CSとの関連性があれば、つまり存在し、我々がテストすることができる定数の-choosability単独指数時間（ちょうどすべての試みを\ binom {N（K）}、{K}を^ n個の選択肢F、及びそれぞれについて、時間内に色付けできることをチェックしますk ^ nn ^ {O（1）}）。そうでなければ、n ^ {kn}のようなより急速に成長するものが必要になるかもしれません。N(k)N(k)N(k)kkkkkk(N(k)k)n(N(k)k)n\binom{N(k)}{k}^nfffknnO(1)knnO(1)k^n n^{O(1)}nknnknn^{kn}

39 graph-theory  co.combinatorics  graph-colouring  exp-time-algorithms 

従来のアルゴリズムでは、時間（ランダム化）または時間（決定論的）で3-SATを解くことができます。（参照：SATの最適な上限）1.3071n1.3071n1.3071^n1.3303n1.3303n1.3303^n 比較のために、量子コンピューターでグローバーのアルゴリズムを使用すると、ランダム化されたソリューションを探して提供します。（これには、ソリューションがいくつあるかどうかについての知識がまだ必要かもしれませんが、これらの境界がまだ必要かどうかはわかりません。）これは明らかに著しく悪いです。最高の古典的アルゴリズムよりも優れた（または少なくとも- ほぼ同等の）量子アルゴリズムがありますか？1.414n1.414n1.414^n もちろん、十分な作業スペースを想定して、古典的なアルゴリズムを量子コンピューターで使用できます。私は本質的に量子アルゴリズムについて疑問に思っています。

29 quantum-computing  sat  exp-time-algorithms 

最短スーパーストリング問題の正確な複雑さについて何が知られていますか？よりも速く解けるO∗(2n)O∗(2n)O^*(2^n)か？TSPに減らすことなく最短スーパーストリングを解決する既知のアルゴリズムはありますか？ UPD： O∗(⋅)O∗(⋅)O^*(\cdot)は、多項式因子を抑制します。 最短スーパーストリング問題は、その答えが、ストリングの特定のセットからの各ストリングを含む最短ストリングである問題です。問題は、有名なNP困難問題Shortest Superstringの最適化拡張についてです（Garey and Johnson、p.228）。

18 cc.complexity-theory  ds.algorithms  graph-theory  tsp  exp-time-algorithms 

次の決定問題を考慮してください 入力：単調CNF ΦΦ\Phiと単調DNF ΨΨ\Psi。 質問： Φ→ΨΦ→Ψ\Phi \to \Psiはトートロジーですか？ 確かにあなたは、この問題を解決することができるO(2n⋅poly(l))O(2n⋅poly(l))O(2^n \cdot \mathrm{poly}(l)) -timeは、ここでnnn変数の数であり、 Φ→ΨΦ→Ψ\Phi \to \Psi及びlll入力の長さです。一方、この問題はcoNP完全です。また、また、SETHが失敗しない限り、番組をCONP-完全性を確立減少は、全く存在しない O(2(1/2−ε)npoly(l))O(2(1/2−ε)npoly(l)）O(2^{(1/2 - \varepsilon)n} \mathrm{poly}(l))この問題の実時間アルゴリズム（これは任意の正の当てはまりますεε\varepsilon）。これがこの削減です。してみましょうAAA（非モノトーン）CNFこととしましょうxxxその変数です。すべての正の出現置き換えるxxxすることによりyyyのすべての負の出現xxxによってzzz。すべての変数に対して同じことを行います。結果の単調なCNFをΦΦ\Phi。これは、ことを確認することは容易であるAAA IFF充足Φ→yz∨…Φ→yz∨…\Phi \to yz \lor \ldots トートロジーではありません。この削減により、変数の数が2倍になり、2n/22n/22^{n/2} （SETHベース）上記の下限。 そのため、2n/22n/22^{n/2}と2n2n2^n時間の間にギャップがあります。私の質問は、より良いアルゴリズムまたはSETHからのより良い削減が知られているかどうかです？ 問題に関連すると思われる2つの発言だけです。 単調DNFが単調CNFを暗示するかどうかの逆問題は、多項式時間で簡単に解ける。 興味深いことに、ΦΦ\Phiとが同じ関数をΨΨ\Psi計算するかどうかを決定する問題は 、FredmanとKhachiyanによる準多項式時間で解くことができます（単調な選言標準形の二重化の複雑性、Journal of Algorithms 21（1996）、no.3 、pp。618–628、doi：10.1006 / jagm.1996.0062）

14 exp-time-algorithms  boolean-formulas  fine-grained 

実際の問題のサイズでは、指数アルゴリズムが最もよく知られている多項式時間よりもはるかに高速に実行される問題を知っていますか（少なくともある程度はよく知られています）。 たとえば、問題の実用的なサイズ*がであり、2つの既知のアルゴリズムがあると仮定します。1つは2 nで、もう1つは定数cに対してn cです。明らかにc > 15の場合、指数アルゴリズムが優先されます。n=100n=100n = 1002n2n2^nncncn^ccccc>15c>15c > 15 *実際のサイズとは、現実の世界で一般的に見られるものを意味すると思います。ネットワーク上の列車の数と同様。

13 time-complexity  polynomial-time  exp-time-algorithms 

この質問は、ボックス制約（ボックスQP）を使用した2次計画問題、つまり次の形式の最適化問題に関するものです。 最小の対象X ∈ [ 0 、1 ] nは。f(x)=xTAx+cTxf(x)=xTAx+cTxf(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} + \mathbf{c}^T \mathbf{x}x∈[0,1]nx∈[0,1]n\mathbf{x} \in [0,1]^n が正の半正定であれば、すべてが素晴らしく凸で簡単になり、多項式時間で問題を解くことができます。AAA 一方、我々は完全性を有していた場合、制約、我々は簡単に時間で問題解決することができO （2 N ⋅ P O のL Y（N ））ブルート力によってを。この質問のために、これはかなり高速です。x∈{0,1}nx∈{0,1}n\mathbf{x} \in \{0,1\}^nO(2n⋅poly(n))O(2n⋅poly(n))O(2^n \cdot \mathrm{poly}(n)) しかし、非凸連続ケースはどうでしょうか？一般的なボックスQPの最速の既知のアルゴリズムは何ですか？ 例えば、我々は適度指数時間に、例えば、これらを解決することができます、またははるかに悪い、最もよく知られたアルゴリズム何かの最悪の場合の複雑さでありますか？O(3n⋅poly(n))O(3n⋅poly(n))O(3^n \cdot \mathrm{poly}(n)) 背景：実際に解決したいかなり小さな箱型QPがいくつかあり、値が非常に小さい場合でも、一部の商用ソフトウェアパッケージのパフォーマンスが低いことに少し驚きました。この観察にTCSの説明があるのではないかと思い始めました。nnn

13 ds.algorithms  optimization  exp-time-algorithms 

それが可能であることを？そのような封じ込めの興味深い結果はありますか？指数時間仮説と矛盾しますか？SA T¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯∈ NT私ME（exp（n0.9））SAT¯∈NT私ME（exp⁡（n0.9））\overline{SAT} \in NTIME(\exp(n^{0.9}))

12 sat  exp-time-algorithms  nexp 

インパリアッツォ、パトゥーリとカラブロ、インパリアッツォ、パトゥーリは、指数時間仮説（ETH）と強指数時間仮説（SETH）を導入しました。おおまかに言って、SETHは時間 SATを解くアルゴリズムはないと言っています。 1.99n1.99n1.99^n 私はそれがSETHを破ることにどういう意味があるのだろうと思っていました。SATをステップ未満で解くアルゴリズムを見つける必要がありますが、どの計算モデルを使用すべきかはよくわかりません。私の知る限り、SETHに基づく結果（たとえば、Cygan、Dell、Lokshtanov、Marx、Nederlof、Okamoto、Paturi、Saurabh、Wahlstromを参照）は、計算の基礎となるモデルについて推測する必要はありません。2n2n2^n たとえば、スペース1.5 nを使用して時間 SATを解くアルゴリズムを見つけたとします。時間1.99 nでこの問題を解決するチューリングマシンを見つけることができることを自動的に意味しますか？SETHを壊しますか？1.5n1.5n1.5^n1.5n1.5n1.5^n1.99n1.99n1.99^n

11 cc.complexity-theory  sat  exp-time-algorithms 

問題がEXP時間完全であることは、がないことを意味しますか？AAAAAADTIME(2o(n))DTIME(2o(n))DTIME(2^{o(n)}) 時間階層の定理により、は含まれないことを知っています。それにもかかわらず、これはすぐにすべてのEXP完全問題のためのサブ指数時間アルゴリズムが存在除外していないようですインスタンス減らしたとき以来、問題の問題のインスタンスyに、私たちは多項式を有することができますサイズが爆破します。つまり、です。EXP=DTIME(2nO(1))EXP=DTIME(2nO(1))EXP=DTIME(2^{n^{O(1)}})E=DTIME(2O(n))E=DTIME(2O(n))E=DTIME(2^{O(n)})AAAxxxB∈EXPB∈EXPB\in EXPAAA|y|=|x|O(1)|y|=|x|O(1)|y|=|x|^{O(1)} だから私の質問は、無条件にEXP完全問題の指数以下の時間アルゴリズムの存在を除外するいくつかの議論があるかどうかです。

10 exp-time-algorithms  complexity 

要素の数が何らかの関数（たとえば、）によって制限されている場合、Set Cover問題はどれほど難しいか。ここで、nは問題のインスタンスのサイズです。正式にはログんlog⁡n\log nんnn LET とF = { S 1、⋯ 、S N } ここで、S iが ⊆ UとM = O （ログN ）。次の問題を決めるのはどれくらい難しいですかU= { e1、⋯ 、eメートル}U={e1,⋯,em}\mathcal{U}=\{e_1, \cdots, e_m\}F= { S1、⋯ 、Sん}F={S1,⋯,Sn}\mathcal{F} = \{S_1, \cdots, S_n\}S私⊆ USi⊆US_i \subseteq \mathcal{U}m = O （ログn）m=O(log⁡n)m = O(\log n) SET-COVER ' = { < U、F、k > ： 最大でk個の …

10 np-hardness  set-cover  exp-time-algorithms 

単純なアルゴリズムに勝る次の問題の既知のアルゴリズムはありますか？ 入力：AシステムのM不等式線形。X ≤ BAx≤bAx \le bメートルmm 出力：実行可能解が存在する場合。バツ∗∈ { 0 、1 }んx∗∈{0,1}nx^*\in \{0,1 \}^n とbに整数のエントリがあると仮定します。私は最悪の範囲に興味があります。あAAbbb

10 np-hardness  integer-programming  exp-time-algorithms 

修正K ≥ 5k≥5k\ge5。十分な大きさのについて、サイズんんnが{ 1 .. n }{1 ..ん}\{1..n\}のすべてのサブセットにn / kん/kn/kを正の整数で正確にラベル付けします{ 1 ... T}{1 ...T}\{1...T\}。このラベル付けが次のプロパティを満たすようにしたい：整数のセットSSSあり、st 場合kkkサイズのサブセットn / kん/kn/k交差する（すなわち、これらのセットの和集合は、すべてのセットを形成しない{ 1 .. n }{1 ..ん}\{1..n\}）は、そのラベルの合計はであるSSS。 そうでなければ、それらのラベルの合計はありませんSSS。 そこに存在するかK ≥ 5k≥5k\ge5とラベリング、ST T⋅ | S| =O（ 1.99ん）T⋅|S|=O（1.99ん）T\cdot|S|=O(1.99^n)？ たとえば、任意のkkkに対して、次の方法でサブセットにラベルを付けることができます。 T= 2んT=2んT=2^n、各サブセットが有するんんnその数のビットは：最初のビットが同じである111サブセットが含まれているときに限り111第2のビットが同じで、111サブセットが含まときに限り222などそれは、参照することは容易だSSS唯一の要素含ま2ん− 12ん−12^n-1。しかし、ここでT⋅ | S| =Θ（ 2ん）T⋅|S|=Θ（2ん）T\cdot|S|=\Theta(2^n)。もっと上手くできる？

10 ds.algorithms  graph-algorithms  it.information-theory  nt.number-theory  exp-time-algorithms 

単純なアルゴリズムに勝る次の問題の既知のアルゴリズムはありますか？ 入力：行列とベクトルb 、c。ここで、A 、b 、cのすべてのエントリは非負の整数です。AAAb,cb,cb,cA,b,cA,b,cA,b,c 出力：最適なソリューションに最大{ C T X ：A X ≤ B 、X ∈ { 0 、1 } N }。x∗x∗x^*max{cTx:Ax≤b,x∈{0,1}n}max{cTx:Ax≤b,x∈{0,1}n}\max \{ c^T x : Ax \le b, x \in \{ 0,1\}^n \} この質問は、以前の質問0-1プログラミングのための正確な指数時間アルゴリズムの改良版です。

9 np-hardness  integer-programming  exp-time-algorithms 

Michael HeldとRichard M. Karpによる「シーケンス問題への動的プログラミングアプローチ」を調べたところ、TSPのアルゴリズムの複雑さが(∑n−1k=2k(k−1)(n−1k))+(n−1)(∑k=2n−1k(k−1)(n−1k))+(n−1)(\sum_{k=2}^{n-1}k(k-1)\binom{n-1}{k})+(n-1)（p。199）、それらは係数kkkどこで取るのですか？私が正しく理解していれば、k−1k−1k-1は都市の各サブセットの追加数を意味します。それでは、各加算演算が未知のkkk演算と結合されるのはなぜですか？どういうわけか最小値を取ることに関係していると思いますが、最小値を計算することはそれほど多くの操作を必要としないようです。 次のように保持し、カープと独立ベルマン実行によって動的プログラミングアルゴリズム：各ペアのための(S,ci)(S,ci)(S,c_i)を経由する経路を意味し、c1c1c_1、すべての要素SSSとで終端cicic_i計算 OPT[S,ci]=min{OPT[S∖{ci},cj]+d(cj,ci):cj∈S∖{ci}},OPT[S,ci]=min{OPT[S∖{ci},cj]+d(cj,ci):cj∈S∖{ci}},OPT[S,c_i]=min\{OPT[S\setminus\{c_i\},c_j]+d(c_j,c_i):c_j\in S\setminus\{c_i\}\}, ここで、d(cj,ci)d(cj,ci)d(c_j,c_i)は、都市cjcjc_jとc_iの間の距離を意味しcicic_iます。次に、紙の公式では、kkkはSのサイズを意味しますSSS。

9 ds.algorithms  tsp  exp-time-algorithms