0-1プログラミングのための正確な指数時間アルゴリズム

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単純なアルゴリズムに勝る次の問題の既知のアルゴリズムはありますか？

入力：Aシステムの不等式線形。 $Ax \le b$ $m$

出力：実行可能解が存在する場合。 $x^*\in \{0,1 \}^n$

とに整数のエントリがあると仮定します。私は最悪の範囲に興味があります。 $A$ $b$

np-hardness integer-programming exp-time-algorithms

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場合は超線形である連言標準形で式が0-1プログラミングの特殊なケースであり、Sparsification補題は私たちが軽減することを可能にするので、このようなアルゴリズムは、強い指数時間仮説を反証となる線形多くの条項にCNF-SATに-SATを。 $m$ $k$

ただし、ワイヤの数、つまりの非ゼロ係数の数が線形である場合、Impagliazzo、Paturi、および私自身によるこのような不等式のシステムを解決できるアルゴリズムがあります。特に、ワイヤーの数が場合、アルゴリズムは時間で実行されます。ここで、 $A$ $cn$ $2^{(1-s)n}$ 。 $s=\frac1{c^{O(c^2)}}$

— ステファン・シュナイダー
ソース

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が十分に小さい場合、ナイーブアルゴリズムよりも優れています。つまり、時間よりも優れています。ここで「十分に小さい」とは、がようなものよりも小さいことを意味します。実行時間は依然として指数関数的です（たとえば、時間など）。ただし、単純なアルゴリズムよりは高速です。 $m$ $2^n$ $m$ $n/\lg n$ $2^{n/2}$

ちなみに、これは、行列のエントリ数が超線形である場合に、時間よりも早く問題を解決できるように見えます。私はそれをここで提供される他の答えで二乗する方法を知りません。したがって、私の答えを注意深く確認する必要があります。それは、私がどこかで重大なミスを犯したことを示している可能性があります。 $2^n$ $A$

基本的なアプローチ：書き込み、最初の保持の構成要素を及び最後の保持の成分と、同様に、左有するの列及び右 $x=(x_0,x_1)$ $x_0$ $n/2$ $x$ $x_1$ $n/2$ $A=(A_0,A_1)$ $A_0$ $n/2$ $A$ $A_1$ 列。今形式で書き換えることができます $n/2$ $Ax \le b$

A_{0} x_{0} + A_{1} x_{1} \leq b,

$A_0 x_0 + A_1 x_1 \le b,$

または同等に、

A_{0} x_{0} \leq b - A_{1} x_{1} .

$A_0 x_0 \le b - A_1 x_1.$

すべての列挙の可能性を、およびlet すなわち、可能な値の集合を表し、 $2^{n/2}$ $A_0 x_0$ $S$

S = {A_{0} x_{0} : x_{0} \in {0, 1}^{n / 2}} .

$S=\{A_0 x_0 : x_0 \in \{0,1\}^{n/2}\}.$

$T$ $2^{n/2}$ $b - A_1 x_1$

T = {b - A_{1} x_{1} : x_{1} \in {0, 1}^{n / 2}} .

$T = \{b - A_1 x_1 : x_1 \in \{0,1\}^{n/2}\}.$

今問題は

$S,T \subseteq \mathbb{Z}^{m}$ $2^{n/2}$ $s\in S$ $t \in T$ $s\le t$

$\le$ $s_i \le t_i$ $i$

$O(2^{n/2} (n/2)^{m-1})$ $m$ $n/\lg n$ $2^n$

$m=1$ $m=1$ $x_i=1$ $A_{1,i}\le 0$ $x_i=0$ $x$

— DW
ソース

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私の回答のアルゴリズムは、同じ方法を使用して回答で説明されているベクトルの問題にも還元されます。つまり、変数を分割して、すべての割り当てをリストします。

— Stefan Schneider

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2^{O (m)}

$2^{O(m)}$