非負のデータを持つ0-1プログラムのための正確な指数時間アルゴリズム

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単純なアルゴリズムに勝る次の問題の既知のアルゴリズムはありますか？

入力：行列とベクトル。ここで、すべてのエントリは非負の整数です。 $A$ $b,c$ $A,b,c$

出力：最適なソリューションに。 $x^*$ $\max \{ c^T x : Ax \le b, x \in \{ 0,1\}^n \}$

この質問は、以前の質問0-1プログラミングのための正確な指数時間アルゴリズムの改良版です。

np-hardness integer-programming exp-time-algorithms

— オースティンブキャナン
ソース

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の非ゼロ係数の数がで線形の場合、時間未満でこの問題を解決するアルゴリズムがあります。 $A$ $n$ $2^n$

これがどのように機能するかです。最適化問題とそれに対応する決定問題の間の標準的な接続を使用します。溶液が存在するかどうかをテストするためにここで及び、我々は決定問題を形成する：我々は隣接う制約行列に任意の存在、およびテストするかどうか、そのようなそのおよび $x$ $Ax\le b$ $c^T x \ge \alpha$ $c^T x\ge \alpha$ $A$ $x$ $Ax \le b$ $-c^T x \le -\alpha$ 。特に、我々は、新しい行列形成する取ることによってと含む余分な行を追加、そして我々が形成し、取ることによってとで、余分な行に隣接します。我々は決定問題を得た：存在しないように？この決定問題への答えは、値元の最適化問題の解決策が存在するかどうかを示します $A'$ $A$ $-c^T$ $b'$ $b$ $-\alpha$ $x \in \{0,1\}^n$ $A' x \le b'$ $\alpha$ 以上。さらに、前の質問の回答で説明したように、この決定問題は、非ゼロ係数の数がで線形の（したがって、非ゼロの数の場合）、時間未満で解決できます。係数はで線形です）。これで、バイナリ検索を使用して、時間未満で最適化問題を解くことができます。 $2^n$ $A'$ $n$ $A$ $n$ $\alpha$ $2^n$

この回答の以前のバージョンのデバッグを支援してくれたAustinBuchananとStefan Schneiderに感謝します。

— DW
ソース

「時間

アルゴリズムがあります」または「

が反証するよりも速いアルゴリズム...」など、より強力な答えを出すことができますか？

O (2^{n / 2})

$O(2^{n/2})$

O (2^{n})

$O(2^n)$

— オースティンブキャナン

@ AustinBuchanan、

の次元数が十分に小さい場合、他の質問への私の回答に記載されているように、

アルゴリズムがあります。それが私が知っている最善の方法です。それ以上の方法はありません。たぶん他の人がより強力な答えを出すことができるでしょう！

b

$b$

O^{*} (2^{n / 2})

$O^*(2^{n/2})$

— DW

時間は、制約の数が

ときはいつでも成立しますか

O^{*} (2^{n / 2})

$O^*(2^{n/2})$

O (1)

$O(1)$

— オースティンブキャナン

4

我々は最小化問題を考える場合アルゴリズムは時間で実行されていることを、次の還元ショーのためのはSETHを反証します。再定式化は、意図された問題（最大化バージョン）に対して同じ結果を証明します。 $\min_y \{c^T y : Ay \ge b, y \in \{ 0,1\}^n \}$ $O(2^{\delta n/2})$ $\delta <1$

インスタンスが与え変数とCNF-SATの、二つの変数と0-1 IPを処方各変数について SATにインスタンス。いつものように、句として表現される $\Phi = \wedge_{i=1}^m C_i$ $\{x_j \}_{j=1}^n$ $y_j, \overline{y}_j$ $x_j$ $(x_1 \vee \overline{x}_2 \vee x_3)$ 。次いで、すべての変数のため SATインスタンスで、制約の追加。目的は、最小限に抑えることである。IPの目的は次のようになります SATインスタンス場合に限っ充足可能。 $y_1 + \overline{y}_2 + y_3 \ge 1$ $x_j$ $y_j + \overline{y}_j \ge 1$ $\sum_{j=1}^n (y_j + \overline{y}_j)$ $n$

修正してくれたStefan Schneiderに感謝します。

更新：でCNF-土などのハードとしての問題点 SETカバーは時間で解くことができないことを著者らは推測、、組の数を指します。trueの場合、これは私の問題は、時間で解くことができないことを示すだろうなども。 $O(2^{\delta n})$ $\delta <1$ $n$ $O(2^{\delta n})$

これまで私が言うことができるようにアップデート2.として、SETHを想定し、私の問題は、時間で解決することはできませんあるため、示されている（サイズのグランド・セットで設定叩くこと）時間で解くことができない。 $O(2^{\delta n})$ $n$ $O(2^{\delta n})$

— オースティンブキャナン
ソース

3

あなたは変数の数を倍増するので、私はこれだけのショーを考えているランタイムでこの問題のためのアルゴリズム

矛盾でしょうSETH。

O (2^{δ n / 2})

$O(2^{\delta n/2})$

— Stefan Schneider 2013

待って... CNF-SATと同じくらい難しい問題の著者は、「すべての

に対して、ヒッティングセット

アルゴリズムはSETHに違反するだろう」と述べています。これは機能しませんか？

ϵ < 1

$\epsilon <1$

O (2^{ϵ n})

$O(2^{\epsilon n})$

\dots

$\dots$

— オースティンブキャナン