モノトーンCNFがモノトーンDNFを意味するかどうかを決定する問題

次の決定問題を考慮してください

入力：単調CNF $\Phi$ と単調DNF $\Psi$ 。

質問： $\Phi \to \Psi$ はトートロジーですか？

確かにあなたは、この問題を解決することができる $O(2^n \cdot \mathrm{poly}(l))$ -timeは、ここで $n$ 変数の数であり、 $\Phi \to \Psi$ 及び $l$ 入力の長さです。一方、この問題はcoNP完全です。また、また、SETHが失敗しない限り、番組をCONP-完全性を確立減少は、全く存在しない $O(2^{(1/2 - \varepsilon)n} \mathrm{poly}(l))$ この問題の実時間アルゴリズム（これは任意の正の当てはまります $\varepsilon$ ）。これがこの削減です。してみましょう $A$ （非モノトーン）CNFこととしましょう $x$ その変数です。すべての正の出現置き換える $x$ することにより $y$ のすべての負の出現 $x$ によって $z$ 。すべての変数に対して同じことを行います。結果の単調なCNFを $\Phi$ 。これは、ことを確認することは容易である $A$ IFF充足 $\Phi \to yz \lor \ldots$ トートロジーではありません。この削減により、変数の数が2倍になり、 $2^{n/2}$ （SETHベース）上記の下限。

そのため、 $2^{n/2}$ と $2^n$ 時間の間にギャップがあります。私の質問は、より良いアルゴリズムまたはSETHからのより良い削減が知られているかどうかです？

問題に関連すると思われる2つの発言だけです。

単調DNFが単調CNFを暗示するかどうかの逆問題は、多項式時間で簡単に解ける。
興味深いことに、 $\Phi$ とが同じ関数を $\Psi$ 計算するかどうかを決定する問題は、FredmanとKhachiyanによる準多項式時間で解くことができます（単調な選言標準形の二重化の複雑性、Journal of Algorithms 21（1996）、no.3 、pp。618–628、doi：10.1006 / jagm.1996.0062）

exp-time-algorithms boolean-formulas fine-grained

— サーシャ・コザチンスキー
ソース

SETHを仮定すると、問題は、時間で解けるないいずれかに対する。 $O\bigl(2^{(1-\epsilon)n}\mathrm{poly}(l)\bigr)$ $\epsilon>0$

まず、とが任意の単調な式である可能性のある、より一般的な問題に当てはまることを示します。この場合、変数の数を保持する問題に対するTAUTからのポリタイムcttの削減があります。ましょう閾値関数示す $\Phi$ $\Psi$ $T^n_t(x_0,\dots,x_{n-1})$ Ajtai–Komlós–Szemerédiソーティングネットワークを使用して、は、多項式サイズの単調な式で記述でき、時間で構築できます。

T_{t}^{n} (x_{0}, \dots, x_{n - 1}) = 1 ⟺ | {i < n : x_{i} = 1} | \geq t .

$T^n_t(x_0,\dots,x_{n-1})=1\iff\bigl|\{i<n:x_i=1\}\bigr|\ge t.$

T_{t}^{n}

$T^n_t$

p o l y (n)

$\mathrm{poly}(n)$

ブール式を考えると、我々はド・モルガンは、フォームでそれを書くためにルール使用することができここでは単調です。次に $\phi(x_0,\dots,x_{n-1})$

ϕ^{'} (x_{0}, \dots, x_{n - 1}, \neg x_{0}, \dots, \neg x_{n - 1}),

$\phi'(x_0,\dots,x_{n-1},\neg x_0,\dots,\neg x_{n-1}),$

ϕ^{'}

$\phi'$

は、単調な含意

場合にのみ、トートロジーです

すべてのに有効な

、

ϕ (x_{0}, \dots, x_{n - 1})

$\phi(x_0,\dots,x_{n-1})$

T_{t}^{n} (x_{0}, \dots, x_{n - 1}) \to ϕ^{'} (x_{0}, \dots, x_{n - 1}, N_{0}, \dots, N_{n - 1})

$T^n_t(x_0,\dots,x_{n-1})\to\phi'(x_0,\dots,x_{n-1},N_0,\dots,N_{n-1})$

t \leq n

$t\le n$

N_{i} = T_{t}^{n - 1} (x_{0}, \dots, x_{i - 1}, x_{i + 1}, \dots, x_{n - 1}) .

$N_i=T^{n-1}_t(x_0,\dots,x_{i-1},x_{i+1},\dots,x_{n-1}).$

左から右への意味で、をを満たす割り当て、つまり、少なくともものを割り当てます。そこに存在する正確でもの。そして、 $e$ $T^n_t$ $t$ $e'\le e$ $t$ 、従って意味 $e'\models N_i\leftrightarrow\neg x_i$ $e'\models\phi$ 。これは単調式であるので、我々はまた、持っている。右から左への影響も同様です。 $e'\models\phi'(x_0,\dots,x_{n-1},N_0,\dots,N_{n-1})$ $e\models\phi'(x_0,\dots,x_{n-1},N_0,\dots,N_{n-1})$

では、元の問題に戻りましょう。問題は、時間的に解けるある場合：私は次のように表示される、次いで、いずれかの、 -DNF・タウト（又は二重、 -SAT）時間で可解である $2^{\delta n}\mathrm{poly}(l)$ $k$ $k$ $k$ 。これが意味SETHが保持している場合。 $2^{\delta n+O(\sqrt{kn\log n})}\mathrm{poly}(l)$ $\delta\ge1$

そこで、我々が与えられていると仮定 -DNF $k$

ϕ = \underset{i < l}{⋁} (\underset{j \in A_{i}}{⋀} x_{j} \land \underset{j \in B_{i}}{⋀} \neg x_{j}),

$\phi=\bigvee_{i<l}\Bigl(\bigwedge_{j\in A_i}x_j\land\bigwedge_{j\in B_i}\neg x_j\Bigr),$

| A_{i} | + | B_{i} | \leq k

$|A_i|+|B_i|\le k$

i

$i$

n

$n$

n^{'} = n / b

$n'=n/b$

b \approx \sqrt{k^{- 1} n \log n}

$b\approx\sqrt{k^{-1}n\log n}$

ϕ

$\phi$

すべてのために有効である

タプル

、我々は定義する

\begin{matrix} （ * ） & \underset{あなたは < n^{'}}{⋀} T_{t_{あなたは}}^{b} （ {バツ}_{b あなたは} 、 \dots 、 {バツ}_{b （ あなたは + 1 ） - 1} ） \to \underset{私 < l}{⋁} （ \underset{j \in A_{私}}{⋀} {バツ}_{j} \land \underset{j \in B_{私}}{⋀} N_{j} ） \end{matrix}

$\tag{$*$}\bigwedge_{u<n'}T^b_{t_u}(x_{bu},\dots,x_{b(u+1)-1})\to \bigvee_{i<l}\Bigl(\bigwedge_{j\in A_i}x_j\land\bigwedge_{j\in B_i}N_j\Bigr)$

n^{'}

$n'$

、ここで、任意用

、

をサイズ

モノトーンDNFとして書くことができます

t_{0}, \dots, t_{n^{'} - 1} \in [0, b]

$t_0,\dots,t_{n'-1}\in[0,b]$

j = b u + j^{'}

$j=bu+j'$

0 \leq j^{'} < b

$0\le j'<b$

N_{j} = T_{t_{u}}^{b - 1} (x_{b u}, \dots, x_{b u + j^{'} - 1}, x_{b u + j^{'} + 1}, \dots, x_{b (u + 1) - 1}) .

$N_j=T^{b-1}_{t_u}(x_{bu},\dots,x_{bu+j'-1},x_{bu+j'+1},\dots,x_{b(u+1)-1}).$

をサイズ

単調なCNFとして。したがって、

LHSはサイズ

単調なCNFです。右側に、

書くことができます

T_{t}^{b}

$T^b_{t}$

O (2^{b})

$O(2^b)$

(*)

$(*)$

O (n 2^{b})

$O(n2^b)$

N_{j}

$N_j$

O (2^{b})

$O(2^b)$ 。したがって、分配性を使用して、RHSの各論理和はサイズ

単調DNFとして記述でき、RHS 全体はサイズ

DNFです。それはそれを次の

サイズの私達の問題のインスタンスである

における

変数。仮定により、時間

O (2^{k b})

$O(2^{kb})$

O (l 2^{k b})

$O(l2^{kb})$

(*)

$(*)$

O (l 2^{O (k b)})

$O(l2^{O(kb)})$

n

$n$

O (2^{δ n + O (k b)} l^{O (1)})

$O(2^{\delta n+O(kb)}l^{O(1)})$

b^{n^{'}}

$b^{n'}$

\vec{t}

$\vec t$

O （ （ b + 1 ）^{n / b} 2^{δ n + O （ k b ）} l^{O （ 1 ）} ） = O （ 2^{δ n + O （ \sqrt{k n ログ n} ）} l^{O （ 1 ）} ）

$O\bigl((b+1)^{n/b}2^{\delta n+O(kb)}l^{O(1)}\bigr)=O\bigl(2^{\delta n+O(\sqrt{kn\log n})}l^{O(1)}\bigr)$

$k\ge3$ $k$ $\Phi$ $k$ $\Psi$ $k$

\begin{aligned} s_{k} & = inf {δ : k - S A T \in D T I M E (2^{δ n})}, \\ s_{\infty} & = sup {s_{k} : k \geq 3} . \end{aligned}

$\begin{align*} s_k&=\inf\{\delta:k\text-\mathrm{SAT}\in\mathrm{DTIME}(2^{\delta n})\},\\ s_\infty&=\sup\{s_k:k\ge3\}. \end{align*}$

\begin{aligned} s_{k}^{'} & = inf {δ : k - M o n I m p \in D T I M E (2^{δ n})}, \\ s_{\infty}^{'} & = sup {s_{k}^{'} : k \geq 3} . \end{aligned}

$\begin{align*} s'_k&=\inf\{\delta:k\text-\mathrm{MonImp}\in\mathrm{DTIME}(2^{\delta n})\},\\ s'_\infty&=\sup\{s'_k:k\ge3\}. \end{align*}$

s_{3}^{'} \leq s_{4}^{'} \leq \dots \leq s_{\infty}^{'} \leq 1

$s'_3\le s'_4\le\dots\le s'_\infty\le1$

s_{k}^{'} \leq s_{k},

$s'_k\le s_k,$

s_{k} \leq 2 s_{k}^{'} .

$s_k\le2s'_k.$

b

$b$

s_{k} \leq s_{b k}^{'} + \frac{\log (b + 1)}{b},

$s_k\le s'_{bk}+\frac{\log(b+1)}b,$

s_{\infty} = s_{\infty}^{'} .

$s_\infty=s'_\infty.$

s_{\infty}^{'} = 1

$s'_\infty=1$

s_{k}^{'} > 0

$s'_k>0$

k \geq 3

$k\ge3$

— EmilJeřábekがモニカをサポート
ソース

Φ

$\Phi$

Ψ

$\Psi$

T_{k}^{n}

$T^n_k$

2^{n^{Ω (1 / d)}}

$2^{n^{\Omega(1/d)}}$ 深さの下限

d

$d$ 、しかし、言う、

2^{\sqrt{n}}

$2^{\sqrt{n}}$ サイズは大丈夫でしょう。

— サーシャKozachinskiy

T_{k}^{n}

$T^n_k$ 、および一般に、多項式サイズの式（NC ^ 1など）で計算可能なものはすべて、深さ-

d

$d$ サイズの回路

2^{n^{O (1 / d)}}

$2^{n^{O(1/d)}}$ 。たとえばcstheory.stackexchange.com/q/14700を参照してください。あなたがそれらをモノトーンにすることができるかどうかを考えなければなりませんが、もっともらしいように聞こえます。

— エミールイェジャベクはモニカをサポートします

OK。まず、一般的な構成はモノトーン設定で正常に機能します。関数にポリサイズのモノトーン式がある場合、深さ-

d

$d$ サイズの単調な回路

2^{n^{O (1 / d)}} p o l y (n)

$2^{n^{O(1/d)}}\mathrm{poly}(n)$ のために

d \geq 2

$d\ge2$ 。第二に、

T_{k}^{n}

$T^n_k$ 特に、単調な深さを構築するのは簡単です。

3

$3$ サイズの回路

2^{O (\sqrt{n \log n})}

$2^{O(\sqrt{n\log n})}$ 入力をサイズのブロックに分割することにより

Θ (\sqrt{n \log n})

$\Theta(\sqrt{n\log n})$ 。

— エミールイェジャベクはモニカをサポートします

実際、この考えをもう少し押し進めて、元の質問に対する答えを提供します。SETHを仮定すると、下限はすでに

Φ

$\Phi$ モノトーンCNFおよび

Ψ

$\Psi$ モノトーンDNF。後で書きます。

— エミールイェジャベクはモニカをサポートします

すべての変数を約に分割できると思います

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$ ブロック

x^{1}, \dots x^{\sqrt{n}}

$x^1, \ldots x^{\sqrt{n}}$ そして書く

T_{k_{1}}^{\sqrt{n}} (x^{1}) \land \dots \land T_{k_{\sqrt{n}}}^{\sqrt{n}} (x^{\sqrt{n}}) \to ϕ^{'}

$T^{\sqrt{n}}_{k_1}(x^1)\land \ldots \land T^{\sqrt{n}}_{k_\sqrt{n}}(x^{\sqrt{n}}) \to \phi^\prime$ すべてのための

k_{1} + \dots + k_{\sqrt{n}} \leq n

$k_1 + \ldots + k_{\sqrt{n}} \le n$ 。使用できます

2^{\sqrt{n}}

$2^{\sqrt{n}}$ -sizeしきい値関数ごとのCNF。しかし、その後、右側にあなたはいないDNFが、深さ3式...持っています

— サーシャKozachinskiy