非凸二次計画法のための正確なアルゴリズム

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この質問は、ボックス制約（ボックスQP）を使用した2次計画問題、つまり次の形式の最適化問題に関するものです。

最小の対象。 $f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} + \mathbf{c}^T \mathbf{x}$ $\mathbf{x} \in [0,1]^n$

が正の半正定であれば、すべてが素晴らしく凸で簡単になり、多項式時間で問題を解くことができます。 $A$

一方、我々は完全性を有していた場合、制約、我々は簡単に時間で問題解決することができブルート力によってを。この質問のために、これはかなり高速です。 $\mathbf{x} \in \{0,1\}^n$ $O(2^n \cdot \mathrm{poly}(n))$

しかし、非凸連続ケースはどうでしょうか？一般的なボックスQPの最速の既知のアルゴリズムは何ですか？

例えば、我々は適度指数時間に、例えば、これらを解決することができます、またははるかに悪い、最もよく知られたアルゴリズム何かの最悪の場合の複雑さでありますか？ $O(3^n \cdot \mathrm{poly}(n))$

背景：実際に解決したいかなり小さな箱型QPがいくつかあり、値が非常に小さい場合でも、一部の商用ソフトウェアパッケージのパフォーマンスが低いことに少し驚きました。この観察にTCSの説明があるのではないかと思い始めました。 $n$

ds.algorithms optimization exp-time-algorithms

— ユッカ・スオメラ
ソース

1

PSD

でも正確に解決できますか？解決策は非合理的ですよね？あなたは添加剤失うことを喜んでいる場合は

、おそらく1が十分に細かいグリッド上で力まかせ探索を行うことによって、指数時間アルゴリズムを得ることができます。あいまいな提案です。

A

$A$

ϵ

$\epsilon$

— チャンドラチェクリ

欠点は、指数の「塩基」のようなものになるだろうということである

、多分巧妙なグリッド・エンジニアリングは、「小さな」のために助けることができる

1 / ϵ

$1/\epsilon$

n

$n$

— スレシュヴェンカト

@ChandraChekuri：あなたが達成できるかどうか近似は、完全に罰金例えば、ある

。ただし、このような細かいグリッドを強引に強制することは現実的ではありません。

ϵ = 10^{- 9}

$\epsilon = 10^{-9}$

— ユッカスオメラ

実際の閉じたフィールドでの量指定子の除去により、これらのシステムを常に正確に解くことができます。

2

場合

許可され、ちょうど1次の最適条件を書き留めることにより、立方体の面のそれぞれに機能を最適化することができます。

O (3^{n})

$O(3^n)$

— 岡本良夫

回答:

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最適なソリューションはいくつかの面にあります。したがって、立方体のすべての面を調べて、各面のすべての静止点を見つけることができます。

$I_0$ $I_1$ $i \in I_0$ $x_i = 0$ $i \in I_1$ $x_i = 1$ $\tilde{x}$ $x$

{\tilde{x}}^{⊤} \tilde{A} \tilde{x} + {\tilde{c}}^{⊤} \tilde{x} + d,

$\tilde{x}^{\top} \tilde{A} \tilde{x} + \tilde{c}^{\top} \tilde{x} + d,$

$\tilde{A}$ $\tilde{c}$ $d$ $0 < \tilde{x} < 1$

この目的のために、目的関数の微分を使用して以下を取得します。

\frac{1}{2} \tilde{A} \tilde{x} + \tilde{c} = 0.

$\frac{1}{2} \tilde{A} \tilde{x} + \tilde{c} = 0.$

この線形連立方程式を解くことにより、最適解の候補である静止点が得られます。それらすべてを調べ、条件を確認し、最小の客観的な値を持つものを選択します。

$O(3^n \text{poly}(n))$ $n$ $3^n$ $n$

— 岡本義雄
ソース

1

f

$f$

@cody：それは、すべてのポリトープがその面の互いに素な結合であるためです。

— 岡本佳生

f

$f$

@cody：プロパティはまだ保持されていますが、次数の代数方程式を複数解く必要があります。多変量の場合、これは簡単ではないのではないかと思います。

— 岡本義雄

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