タグ付けされた質問 「ct.category-theory」

カテゴリー理論における質問

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TCSのカテゴリー理論の堅実な応用？
私はいくつかのカテゴリー理論を学んでいます。それは確かに物事を見る別の方法です。（それを見たことがない人のための非常に大まかな要約：カテゴリー理論は、オブジェクト間の機能的関係の観点のみであらゆる種類の数学的行動を表現する方法を提供します。例えば、2セットのデカルト積のようなものは、セットのメンバーである要素の観点からではなく、他の関数がそれとともにどのように動作するか） カテゴリ理論はプログラミング言語/ロジック（「理論B」）側で有用であるという漠然とした理解があり、どの程度のアルゴリズムと複雑さ（「理論A」）が役立つか疑問に思っています。しかし、理論Bのカテゴリ理論の確かな応用を知っていれば、それは私が着手するのに役立つかもしれません（理論Aにはこれまで見つかった応用はないことをすでに暗黙のうちに仮定していますが、それらのいくつかがあれば、それは私にとっては良い！） 「確実なアプリケーション」とは、次のことを意味します。 （1）アプリケーションはカテゴリ理論に強く依存しているため、機械を使用せずに達成することは非常に困難です。 （2）アプリケーションは、カテゴリー理論の少なくとも1つの非自明な定理（たとえば、米田の補題）を呼び出します。 （1）は（2）を暗示している可能性がありますが、これらが「実際の」アプリケーションであることを確認したいと思います。 「理論B」の背景はありますが、しばらく経っていますので、専門用語の削除は大歓迎です。 （回答の種類によっては、後でこの質問をコミュニティWikiに変えることもあります。しかし、説明が十分にある優れたアプリケーションが本当に欲しいので、回答者に何かに報酬を与えないのは残念に思えます。）
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カテゴリカル用語でのApplicativeファンクターの説明-モノイダルファンクター
Applicativeカテゴリ理論の観点から理解したいと思います。 のドキュメントにApplicativeは、それは強力な緩いモノイダルファンクターであると書かれています。 第一に、モノイドのファンクターに関するウィキペディアのページでは、モノイドのファンクターは緩いか強いのいずれかであると述べています。したがって、ソースのいずれかが間違っているか、用語が異なって使用されているように思えます。誰もそれを説明できますか？ 第二に、Applicativeモノイドのファンクターであるモノイドのカテゴリーは何ですか？ファンクターは、標準のHaskellカテゴリー（オブジェクト=タイプ、モーフィズム=関数）の内部ファンクターであると仮定しますが、このカテゴリーのモノイド構造が何であるかはわかりません。 手伝ってくれてありがとう。
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理論計算機科学の代数指向ブランチ
私は代数の非常に強い基盤を持っています、すなわち 可換代数、 ホモロジー代数、 場の理論、 カテゴリー理論、 現在、代数幾何学を学んでいます。 私は数学の専攻で、理論的なコンピューターサイエンスに移行する傾向があります。上記のフィールドを念頭に置いて、どのフィールドが理論的なコンピューターサイエンスの最も適切なフィールドに切り替えられるでしょうか？つまり、上記の分野を追求することによって得られた理論と数学的成熟度は、どの分野で有利に使用できますか？
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無限シーケンスの有界入力全単射
ここに私が解決できなかったパズルがあります。この問題が既に知られているか、簡単な解決策があるかどうかを知りたいです。 全単射定義することが可能である bicartesian閉じたカテゴリのプロパティを使用します。Andrej Bauerは、これが何を意味するかの説明を「Constructive gem：juggling exponentials」としてブログに投稿しました。3N≅5N3N≅5N 3^\mathbb{N} \cong 5^\mathbb{N} この全単射には興味深い特性があります。これは「有界入力」であり、出力の各コンポーネントが入力の有界に多くのコンポーネントにのみ依存することを意味します。しかし、ためには、この構成のみことを示すことができると思わK NとLとN場合同形であり、K及びLが奇数か偶数両方共に。これは質問を開いたままにします：k,l≥2k,l≥2k,l\geq 2kNkN k^\mathbb{N} lNlN l^\mathbb{N} kkklll から3 Nまでの有界入力全単射はありますか？2N2N 2^\mathbb{N} 3N3N 3^\mathbb{N} 問題をより詳細に説明する短いメモがあります： 無限シーケンスの有界入力全単射に関する推測。 定義： 関数である有界入力整数が存在する場合、kは 出力の各成分ように、Fは最大でのみ依存するk個の 入力のコンポーネント。より正式には、fは各インデックスのための場合有界入力されるJ ∈ J 指数あるiが1、⋯ 、iはkは ∈ I および関数F M：Xf:∏i∈IXi→∏j∈JYjf:∏i∈IXi→∏j∈JYjf : \prod_{i \in I} X_i \rightarrow \prod_{j\in J} Y_j kkkfffkkkfffj∈Jj∈Jj \in Ji1,⋯,ik∈Ii1,⋯,ik∈Ii_1,\dotsb,i_k \in I 全てについてようにX∈X成分 …
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線形論理の民俗モデルとは何ですか？
おそらく、PLでの線形型の最も一般的な用途は、それらを使用してエイリアスを制御する言語を提供することです（つまり、線形値には多かれ少なかれ単一のポインターがあります）。 しかし、この使用法と線形論理の典型的な表示モデルとの間にはわずかな不一致があります。IIRC、ベントンは、デカルト閉カテゴリが強力な可換モナドを持っている場合、代数のカテゴリは対称モノイダル閉（つまり線形論理のモデル）になることを示しました。しかし、状態モナドは可換ではないため、この定理はエイリアス制御の使用には適用されません。そして確かに、過去数年でシンプソンと彼の同僚は、線形論理の項計算ではない一般的な強いモナドの計算を与えました。 だから私の質問は、状態を持つ線形言語の表示的意味論とは何ですか？割り当て、読み取り、および線形更新をモデル化できる非縮退（つまり、テンソルがデカルト積ではない）対称モニダル閉カテゴリはありますか？
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デカルト閉カテゴリの矢印と指数オブジェクトの違いは何ですか？
直交クローズカテゴリ（CCC）、いわゆる存在冪対象に書かれた、。CCCが単純に型付けされたλ計算のモデルと見なされる場合、B Aのような指数オブジェクトは、型Aから型Bまでの関数空間を特徴付けます。指数オブジェクトはc u r r yと呼ばれる矢印によって導入されます：（A × B → C ）→ （A → C BBABAB^Aλλ\lambdaBABAB^AAAABBB矢印によって除去と呼ばれる P のP LのY ：C B × B → C残念ながらと呼ばれる（例えばV Lカテゴリ理論に最もテキストでの）。ここでの私の質問は、指数オブジェクト C Bと矢印 B → Cに違いはありますか？C U R R Y：（A × B → C）→ （A → CB）curry:(A×B→C)→(A→CB)curry : (A \times B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow …
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カテゴリー理論的観点からの通常言語
アルファベット超える通常の言語は、自然にポーズ、そして実際には格子と考えることができることに気付きました。さらに、空の言語との連結は、このカテゴリの厳密なモノイド構造を定義します。これは、結合よりも分配的です（満たすかどうかはわかりません）。これは、通常の言語の理論または実践において有用な構成体ですか？たとえば、Kleeneの星を1つとして定義できますか？ΣΣ\Sigmaϵϵ\epsilon これはCourseraのコンパイラコースで質問された質問のコピーです：https ://class.coursera.org/compilers/forum/thread ? thread_id=311
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データ構造同型
免責事項：私はCS理論家ではありません。 抽象代数から来て、私は同型に等しいものを扱うことに慣れていますが、この概念をデータ構造に変換するのに問題があります。最初に、まっすぐに設定された理論的な全単射射影で十分だと思っていましたが、私は非常に急速に壁にぶつかりました。 より制限的な（しかしより便利な）定義はありますか？（そうでない場合、なぜですか？）「構築されたデータ構造」のカテゴリの標準的な定義はありますか？
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関係代数/計算とカテゴリー理論の間に関係はありますか？
リレーショナルデータベースを理解するための少なくとも2つの異なる理論的アプローチを知っています。Coddの関係代数/計算とカテゴリ理論です。 これら2つのアプローチの間に関係はありますか？ある意味では同等ですか？これらのフレームワークの両方がリレーショナルデータベースをどのように説明するかを説明する導入作業はありますか？ 背景： しばらく前に、David Spivakの科学者向けカテゴリ理論を読みました。このカテゴリ理論では、リレーショナルデータベースの理論を理解するために、カテゴリ理論をどのように適用できるかについてかなり議論しました。ただし、リレーショナルデータベースとは何か、またはそれらが有用である理由について個人的な経験はほとんどありませんでしたが、当時は、この本に見られる深い洞察を十分に理解していませんでした。 しかし、最近、SQLクエリと、データ操作用の2つのRパッケージdplyrとdata.tableについて学びました。SQLは明らかにCoddの関係代数/計算/モデルのアイデアの多くを表現できますが、すべてではありません。また、dplyrの著者、ハドレーウィッカムは、している明示的に述べパッケージの基礎となる彼の哲学は、リレーショナル代数にコッドの仕事に基づいて、およびの基本的なコマンドであることをdata.table SQLとdplyrのコマンドにかなりよくマップ。 カテゴリー理論は、Haskellのような関数型プログラミング言語を使用する多くのプログラマーに影響を与えることも知っています。ただし、R向けのHadley Wickhamのpurrrパッケージ、Apache SparkがScalaで記述されているという事実、およびMapReduceに関連するテクノロジー以外に、データ操作またはデータサイエンスに関数型プログラミングが使用されていることはあまり知りません。 この種のすべては、カテゴリ理論とコッドの関係代数/計算との間に何らかの関係があるべきだと示唆していますが、そのような接続を明示的にしたり、一般的なデータ操作の設計決定の根底にあることを説明したりする人を聞いたことはありませんおよびリレーショナルデータベーステクノロジー。それで、私は完全に間違っているかもしれないと疑っています。 編集：どうやらDavid Spivakは「関数クエリ言語（FQL）」に取り組んでいるようです。これは、存在する限り、このような理論的な接続のアプリケーションである可能性があります。 注：「リレーショナル構造」がリレーショナルデータベースまたはリレーショナル代数/計算の議論に適切なタグであるかどうかはわかりません。このウィキペディアの記事は、それらが接続されている可能性を示唆していますが、最終的には「リレーショナル構造」というフレーズの意味がわかりません。再度タグを付けてください。
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コルモゴロフの複雑性の計算不能性は、ローヴェアの固定小数点定理から得られますか？
多くの定理と「パラドックス」-カントールの対角化、憎しみの決定不能性、コルモゴロフ複雑性の決定不能性、ゲーデル不完全性、チャイティン不完全性、ラッセルのパラドックスなど-すべてが本質的に対角化による同じ証明を持っています（これは、すべては対角化によって証明されます。むしろ、これらの定理はすべて同じ対角化を実際に使用していると感じています。詳細については、例えばYanofskyを参照するか、より簡潔で形式化されていない説明については 、この質問に対する私の答えを参照してください）。 上記の質問に関するコメントの中で、サショ・ニコロフは、それらのほとんどがローヴェアの不動点定理の特別なケースであると指摘しました。それらがすべて特殊なケースである場合、これは上記のアイデアを捉える良い方法です。実際には、1つの証明（ローベレ）の結果が1つあり、そこから上記のすべてが直接の結果として続きます。 現在、ゲーデルの不完全性と停止問題とその友人の決定不能性については、彼らがLawvereの不動点定理（例えば、here、hereまたはYanofskyを参照）に従うことはよく知られています。しかし、基礎となる証明が何らかの形で「同じ」であるという事実にもかかわらず、コルモゴロフの複雑さの決定不能性のためにそれをどのように行うかすぐにはわかりません。そう： コルモゴロフの複雑性の決定不能性は、ローヴェアの固定小数点定理の追加の対角化を必要としない迅速な結果ですか？
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サブタイピングのカテゴリセマンティクスとは何ですか？
Curry-Howard-Lambekから始まって、型理論、論理、カテゴリの素晴らしい三位一体がありました。型理論に（強制的な）サブタイピングを追加すると、どのようなカテゴリのセマンティクスが得られるのか興味があります-これは、ほとんど検討されていないようです。 一般に、型理論に強制的なサブタイピングを追加しても、強い正規化などのメタ理論的な特性が損なわれることはないため、そのカテゴリのセマンティクスは実際に興味深いものになるはずです！
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comonadsとfunctorの間にあるco-applicative functorのような概念はありますか？
モナドはすべて適用ファンクターであり、適用ファンクターはファンクターです。また、comonadはファンクターです。comonadsとファンクターの間に同様の概念がありますか？共同適用ファンクターのようなものがあり、その特性は何ですか？ \begin{array}{c} \end{array} ファンクター↑応用ファンクター↑モナドファンクター↑？？？↑コモナドファンクターファンクター↑↑応用ファンクター？？？↑↑モナドコモナド\begin{array}{cc} \mbox{Functors} & & \mbox{Functors} \\ \uparrow & & \uparrow \\ \mbox{Applicative functors} & & ??? \\ \uparrow & & \uparrow \\ \mbox{Monads} & & \mbox{Comonads} \\ \end{array} 更新：このような概念の可能な用途にも興味があります。
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