GrothendieckのプログラムがTCSに与える影響

グロタンディークは亡くなりました。彼は21世紀まで続く20世紀の数学に大きな影響を与えました。この質問は、たとえばAlan Turingのコンピューターサイエンスへの貢献のスタイル/精神でやや尋ねられます。

Grothendieckが理論計算機科学に与えた主な影響は何ですか？

グロタンディークの不等式は、機能分析の彼の時代から、最初にテンソル積空間の基本的な規範を関連付けることが証明されました。グロタンディークは、不等式を「テンソル積空間の計量理論の基本定理」と呼び、1958年に現在有名な論文でフランス語の限定流通ブラジルジャーナルに発表しました。LindenstraussとPelczynskiによって再発見されるまで（Grothendieckが機能分析を残した後）、この論文は15年間ほとんど無視されていました。彼らは論文の主な結果の多くの再定式化を行い、絶対和演算子と因数分解規範の研究に関連し、グロタンディークが後に提起された「未解決の」問題を解決したことを観察した。論文が発表されました。Pisierは、不平等、その変形、および彼の調査での機能分析への多大な影響について非常に詳細な説明をしています。

$$\max\{x^TAy: x \in \{-1, 1\}^m, y \in \{-1, 1\}^n\}$$ $$\max\{\sum_{i,j}{a_{ij}\langle u_i, v_j\rangle}: u_1, \ldots, u_m, v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{S}^{n+m-1}\},$$ $\mathbb{S}^{n+m-1}$$\mathbb{R}^{n+m}$。不等式の証明は「丸めアルゴリズム」を与え、実際、Goemans-Williamsonのランダムな超平面丸めが仕事をします（しかし、準最適な定数を与えます）。ただし、丸めアルゴリズムの分析は「グローバル」である必要があります。つまり、目的関数のすべての項を一緒に見る必要があるため、グロタンディークの不等式は興味深いものです。

これを言って、Grothendiecksの不平等がコンピューターサイエンスで2番目（3番目、4番目？）の生活を見つけたのは驚くべきことではありません。KhotとNaorは、複数のアプリケーションと組み合わせ最適化への接続を調査しています。

話はそこで終わりません。この不等式は、量子力学におけるベルの不等式違反に関連しており（Pisierの論文を参照）、通信の複雑さの研究でLinialとShraibmanによって使用され、プライベートデータ分析（恥知らずのプラグ）の研究でも有用であることが判明しました。

グロタンディークの影響は、型理論と論理で感じることができます。たとえば、Bart Jacobsの700+ページボリュームのカテゴリロジックと型理論は、さまざまな型理論（型理論、ここで）グロタンディーク線維化（デカルト線維化とも呼ばれます）のカテゴリ概念に基づいています。同様に、同じくGrothendieckによるToposの概念は、論理学者と理論的コンピューター科学者の両方にとって興味深い、カテゴリーセマンティクスを論理学と型理論に提供する上で大きな役割を果たします。X X ⊆ { 単純な、依存、多型、高次$X$$X\subseteq \{ \text{simple},$ $\text{dependent},$ $\text{polymorphic},$ $\text{higher-order}\}$

進コホモロジー、代数多様体のポイントカウント式でのetaleコホモロジーの応用はすべて、彼の研究に根ざしています。$p$

ワイル予想から生じる有限体上のリーマン仮説の一般化に関するマルムレーのビジョンは、もともとグロタンディークのエテールコホモロジーから実り多い結果をもたらした質問をすることと考えることができると思います。