デカルト閉カテゴリの矢印と指数オブジェクトの違いは何ですか？

直交クローズカテゴリ（CCC）、いわゆる存在冪対象に書かれた、。CCCが単純に型付けされた計算のモデルと見なされる場合、ような指数オブジェクトは、型から型までの関数空間を特徴付けます。指数オブジェクトはと呼ばれる矢印によって導入されます $B^A$ $\lambda$ $B^A$ $A$ $B$ 矢印によって除去と呼ばれる残念ながらと呼ばれる（カテゴリ理論に最もテキストでの）。ここでの私の質問は、指数オブジェクトと矢印違いはありますか？ $curry : (A \times B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow C^B)$ $apply : C^B \times B \rightarrow C$ $eval$ $C^B$ $B \rightarrow C$

type-theory lambda-calculus ct.category-theory

— 日
ソース

ではカテゴリそれは指数関数オブジェクトが、中に型理論それが呼ばれるかもしれない、指数タイプ。

— アンドレイバウアー

これは研究レベルの質問ではありません。cs-exchangeに移動しますか？

— アンドレアアスペルティ

1つは内部で、もう1つは外部です。

カテゴリは、オブジェクトと射で構成されます。と書くとき、はオブジェクトからオブジェクトへの射であることを意味します。我々は、からすべての射収集してもよいに内射の集合 "HOM-セット"と呼ばれます。このセットはオブジェクトではなく、セットのカテゴリのオブジェクトです。 $\mathcal{C}$ $f : A \to B$ $f$ $A$ $B$ $A$ $B$ $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)$ $\mathcal{C}$

対照的に、指数はオブジェクトです。それは、「がそのhom-setを考える」方法です。したがって、は、のオブジェクトが持つあらゆる構造を装備必要があります。 $B^A$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$ $B^A$ $\mathcal{C}$

例として、位相空間のカテゴリーを考えてみましょう。次いで、から連続マップであるに、及び全てのこのような連続的なマップの集合です。しかし、が存在する場合、これは位相空間です！の点は、からまでの連続写像（と全単射対応）であることを証明できます。実際、これは一般的に成り立っています：射 $f : X \to Y$ $X$ $Y$ $\mathrm{Hom}_{\mathsf{Top}}(X,Y)$ $Y^X$ $Y^X$ $X$ $Y$ $1 \to B^A$ （これは"グローバルな点で "）射と全単射対応している、なぜなら $B^A$ $A \to B$

H o m (1, B^{A}) ≅ H o m (1 \times A, B) ≅ H o m (A, B) .

$\mathrm{Hom}(1, B^A) \cong \mathrm{Hom}(1 \times A, B) \cong \mathrm{Hom}(A, B).$

ではなくを書くことについて、私たちはだらしないことがあります。実際、これら2つは同義語である場合が多く、は「ここで私は他の表記法を意味するので、これはがからへの射であることを意味する」という理解がある。たとえば、のモルフィズム書き留めたとき本当にを書いたはずです $B^A$ $A \to B$ $f : A \to B$ $f$ $A$ $B$

curry : (A \times B \to C) \to (A \to C^{B})

$\textit{curry}: (A \times B \to C) \to (A \to C^B)$

したがって、ここで混乱したことを誰も責めることはできません。内部

は内部の意味で使用され、外部は外部の意味で使用されます。

curry : C^{A \times B} \to {(C^{B})}^{A} .

$\textit{curry}: C^{A \times B} \to {(C^B)}^A.$

\to

$\to$

単に -calculus と入力すると、すべてが内部的なものになります。基本的なタイピングの判断は「がタイプ」であり、と書かれています。ここで、は型であり、型はオブジェクトに対応するため、内部的な意味で指数関数と矢印を明確に相互作用させる必要があります。したがって、を理解している場合計算における型判定として、すべて $\lambda$ $t$ $B$ $t : B$ $B$ $B$

curry : (A \times B \to C) \to (A \to C^{B})

$\textit{curry}: (A \times B \to C) \to (A \to C^B)$

λ

$\lambda$ これは同様であるので、矢印は、内部ある

なぜ人々が

と

を同義語として使用するのかが明らかになったことを願っています。

curry : ((C^{B})^{A})^{C^{A \times B}} .

$\textit{curry}: ((C^B)^A)^{C^{A \times B}}.$

B^{A}

$B^A$

A \to B

$A \to B$

— アンドレイ・バウアー
ソース

謎を完全に払拭する素晴らしい答えをありがとう。

— 日

確かに！素晴らしい説明！

— Uday Reddy

どちらが内部で、どれが外部ですか？

— CMCDragonkai