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n-queens-completionの複雑さ？
古典的なクイーン問題は、正の整数nが与えられた場合、次の条件を満たす整数の配列Q [ 1 .. n ]があるかどうかを尋ねます。nnnnnnQ[1..n]Q[1..n]Q[1..n] すべてのために私1≤Q[i]≤n1≤Q[i]≤n1\le Q[i] \le niii すべての i ≠ jに対して Q [ i ] ≠ Q [ j ]Q[i]≠Q[j]Q[i]≠Q[j]Q[i] \ne Q[j]i≠ji≠ji\ne j すべての i ≠ jQ[i]−i≠Q[j]−jQ[i]−i≠Q[j]−jQ[i]-i \ne Q[j]-ji≠ji≠ji\ne j すべての i ≠ jに対してQ[i]+i≠Q[j]+jQ[i]+i≠Q[j]+jQ[i]+i \ne Q[j]+ji≠ji≠ji\ne j 各整数は、n × nチェス盤のi番目の行のクイーンの位置を表します。制約は、クイーンが他のクイーンを攻撃しないという要件をエンコードします。n = 2またはn = 3の場合、解が存在しないことを証明するのは簡単です。nの他のすべての値については、閉形式の解が知られています。したがって、決定問題として、nQ[i]Q[i]Q[i]iiin×nn×nn\times nn=2n=2n=2n=3n=3n=3nnnnnnクイーンズ問題は完全に些細な問題です。 nクイーンソリューションを構築するための標準のバックトラッキングアルゴリズムは、行のプレフィックスにクイーンを推測的に配置し、残りの行にクイーンの正当な配置があるかどうかを再帰的に決定します。再帰的なサブ問題は、次のように形式化できます。nnn 整数と整数の配列P …
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国際ドラフトを正しくプレイするのはNP困難ですか？
次の問題はNP困難ですか？ 国際ドラフト用のボード構成を考えると、1つの法的動きを見つけてください。n×nn×nn\times n アメリカのチェッカー（別名英語のドラフト）に対応する問題は、多項式時間で簡単に解決できます。これら2つのゲームには3つの大きな違いがあります。n×nn×nn\times n 最初の最も重要な違いは、「フライングキング」ルールです。チェッカーでは、キングは隣接する敵の駒を飛び越えて、2段離れた空の正方形に斜め方向にジャンプすることができます。国際的なドラフトでは、王は対角線に沿って任意の距離を移動することにより、相手の駒を任意の距離だけ飛び越えることができます。 チェッカーのように、同じピースを使用して、1ターンで一連のピースをキャプチャできます。ただし、チェッカーとは異なり、国際ドラフトでキャプチャされたピースは、シーケンス全体が終了するまで削除されません。捕獲駒は同じ空の広場に複数回飛び越えたり、着地したりできますが、敵の駒を複数回飛び越えてはなりません。 最後に、チェッカーと国際ドラフトの両方には、強制キャプチャルールがあります。対戦相手の駒をキャプチャできる場合は、必須です。ただし、複数のオプションが複数ある場合、ルールは一致しません。チェッカーでは、キャプチャの最大シーケンスを選択できます。つまり、キャプチャピースがキャプチャできなくなったときに終了するキャプチャシーケンスを選択できます。国際的なドラフトでは、最長のキャプチャシーケンスを選択する必要があります。したがって、私の問題は次と同等です。 国際ドラフト用のボード構成が与えられた場合、反対側のピースの最大数をキャプチャする動きを見つけます。n×nn×nn\times n 次の問題がNP完全であることを証明すれば十分です。（明らかにNPにあります。） キングのみを含む国際ドラフト用のボード構成を考えると、1人のプレイヤーが1ターンですべての対戦相手のピースをキャプチャできますか？n×nn×nn\times n 対応するチェッカーの問題は、多項式時間で答えることができます。これは楽しい宿題です。この問題は、デメイン、デメイン、およびエプスタインによるPhutballのエンドゲームの分析により似ています。楽しい宿題の練習の解答は、彼らの論文の最後にあります。解決策は、FrankelらによるFOCS 1978の論文にも記載されています。これは、チェッカーを最適にプレイすることがPSPACEに困難であることを証明しています。チェッカーが実際にEXPTIME完了であるというRobsonの1984年の証拠も参照してください。
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チェスはユニバーサルチューリングマシンをシミュレートできますか？
私はタイトルの質問に明確な答えを得たいと思っています。 任意のプログラムを無限のボード上の有限なピースの構成に変換する一連のルールはありますか？白黒が合法的な動きのみをプレイする場合、プログラムが停止する場合、ゲームは有限時間で終了しますか？ ルールは、通常のチェスから50の移動ルール、交換、キャスティングを引いたものと同じです。 そして、チェスのようなゲームをチューリング完全にするために必要な、異なる種類のピースの最小数（つまり、最も単純なゲーム）は何ですか？（許可された動きのセットを持ち、翻訳下で不変の各タイプの作品）。 チューリングが完了したことを証明するためにゲームに追加できるものはありますか？
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ランダムなターン順を持つヘックスの複雑さ。
hexの変形を考えてきました。2人のプレイヤーが交互に移動する代わりに、プレイヤーがランダムに選んだ各ターンが移動します。各プレイヤーが勝つ可能性を判断するのはどれくらい難しいですか？この問題は明らかにPSPACEにありますが、NP困難であり、PSPACE完全ではないことはできません。困難は、プレイヤーがオプションの中から選択を強いられることをランダム性が不可能にすることから生じます。そのプレイヤーが幸運だった場合、彼は2つのオプションを十分に手に入れ、プレイヤーが運が悪ければ、両方のオプションをブロックするのに十分な動きを相手に与えます。一方、このための多項式時間アルゴリズムは考えられません。
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ドラキュラゲーム
背景 この質問は、「ドラキュラ」と呼ばれるボードゲームによって動機付けられています。このゲームでは、吸血鬼が1人とハンターが4人います。ハンターの目的は吸血鬼を捕まえることです。ゲームはヨーロッパで行われます。ゲームは次のようになります 。1.ハンタープレイヤーはすべてのハンターを都市に置きます。同じ都市に複数のハンターを配置できます。 2.吸血鬼プレイヤーは吸血鬼を都市に置きます。 3.プレイヤーは、クリーチャーを隣接する都市に交互に移動します。 4.ハンタープレイヤーは自分の順番で、好きなだけハンターを移動できます。 5.主な難点は、吸血鬼のプレイヤーは常にハンターのいる場所を知っているが、ハンタープレイヤーは吸血鬼の開始位置のみを知っていることです。 6.ハンターと吸血鬼が都市で会うとき、吸血鬼プレーヤーは負けます。 質問 与えられたグラフと数字nおよびkに対して、nハンターを制御するハンタープレイヤーがkターン未満で吸血鬼を捕まえることを保証する戦略はありますか？Gは平面であると仮定できます。この問題は研究されましたか？いくつかの参考文献をいただければ幸いです。GGGnnnkkknnnkkkGGG
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このゲームは終了しますか？
次のカードゲームを検討してください（イタリアでは「Cavacamicia」と呼ばれ、「stripshirt」と翻訳される場合があります）。 2人のプレイヤーがランダムに2枚のデッキで標準のカードを分割しました。各プレイヤーは1つのデッキを取得します。 プレイヤーは自分のデッキから次のカードをスタックに交互に置きます。 プレイヤー（A）が特別なカード、つまりI、II、またはIIIを配置する場合、他のプレイヤー（B）は対応する数のカードを連続して配置する必要があります。 そうすることで、Bが特別なカードを置いた場合、アクションは逆になります。それ以外の場合、Bが対応する数のカードを配置し、特別なカードは配置しない場合、Aは配置されたすべてのカードを収集し、それらをデッキに追加します。次に、カードを下に置いてゲームを再開します。 カードを使い果たした最初のプレイヤーはゲームに負けます。 注：ゲームの結果は、デッキの初期パーティションのみに依存します。（このゲームは少し無意味に見えるかもしれません;-) 質問：このゲームは常に終了しますか？このゲームを一般化し、各プレイヤーにカードの2つのシーケンスを与えるとどうなりますか？
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非対称の複雑さを持つ単純なゲームはありますか？
多項式の数の動きの後に終了する完全な情報の2人用コンビナトリアルゲームを検討し、交互の方法で、プレイヤーは有限数の許可された動きから選びます。通常の質問は、与えられたポジションから勝者を伝えるのがどれほど難しいかです。別のものは、勝ちポジションから勝ち手を選ぶのがどれほど難しいかです。（ここで、プレイ後にポジションが勝ち続けている場合、ムーブ勝利と呼びます。）区別するために、前者をPOSITION-COMPLEXITY、後者をMOVE-COMPLEXITYと呼びます。 MOVE-COMPLEXITYがまたはP S P A C Eにある場合、POSITION-COMPLEXITYも同じであることがわかります。最適な動きを計算し、最後に勝者を確認できます。（MOVE-COMPLEXITYがN Pにある場合、おそらくPOSITION-COMPLEXITYがP N Pにある場合はどうなるか、私は本当に考えていません。）ただし、MOVE-COMPLEXITYが些細でPOSITION-複雑さはarbitrary意的です-アルゴリズムの出力が何であるかをチェックする（あまり面白くない）ゲームのように、プレーヤーは次のステップを実行し、1回の移動のみが許可されます。私は少し脱線しましたが、私の主な質問は次のとおりです。PPPPSPA CEPSPACEPSPACENPNPNPPNPPNPP^{NP} 2人のプレーヤーのMOVE-COMPLEXITYが異なる自然なゲームはありますか？ たとえば、最初のプレーヤーがCNFの変数の値を選択するゲーム（解決策がない場合があります）、2番目のプレーヤーがSOKO-BANパズルを解こうとしている（解決策がない場合があります）そのような例。
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ゲームのシュールな数値の実装
コンウェイによる超現実的な数の非常に素晴らしい構造があります。これらは、実数と序数の両方を含む「数字」であり、完全に順序付けられ、フィールドのすべてのプロパティを持ちます（セットではなくクラスを形成します）。 たとえば、このPDFまたはWikipediaを参照してください。 それらは、いわゆる「ゲーム」にさらに一般化することができます。これは、もともと組み合わせゲームを研究するために導入されました。Conwayの当初の動機はGoのゲームを分析することでした。特にエンドゲームは「シュールなゲーム」でモデル化するのに特に適しています。 私の質問は、ゲームでのレベルを向上させるためにAI（コンピュータープレーヤー）にこのアプローチを実装した人がいるかどうか知っていますか？Goの場合は特に興味がありますが、他の場合も同様です。そうでない場合、障害またはそれが良いアイデアではない理由がありますか？
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MCTS / UCTのアプリケーション
MCTS / UCTは、バンディットアルゴリズムを使用して探索する有望なノードを選択するゲームツリー検索方法です。ゲームはランダムに最後までプレイされ、より多くの勝利につながるノードがより深く探索されます。バンディットアルゴリズムは、高い勝率を持つノードの探索と未知のノードの探索の間のバランスを維持します（純粋な形式では、必ずしもヒューリスティック評価関数を使用しません）。この一般的な手法に基づくプログラムは、コンピューターGoで驚くべき結果を達成しています。 バンディット主導のモンテカルロ検索は、他の検索問題に適用されましたか？たとえば、MAX-SAT、BKP、または他の組み合わせ最適化問題のソリューションを近似するのに役立つアプローチでしょうか？山賊スタイルのアプローチが効果的であるかどうかを示唆する問題（構造的/統計的など）の特定の特性はありますか？ ソリューションスペースの性質上、バンディットメソッドに完全に耐性がある既知の確定的な問題はありますか？
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この「ゲーム」（カウンターのリバランス）の価値は何ですか？
この質問は2週間前にCS.SEに投稿されましたが、満足のいく答えが得られませんでした。 次のゲームがあるとします。 無限に多くのカウンター、すべて0に初期化されています。{c1,c2,…}{c1,c2,…}\{c_1,c_2,\ldots\} 各ステップで、カウンターを選択し、その値を1増やします。cicic_i 残念ながら、ステップごとに、正の値を持つ各カウンターは1ずつ減少します。TTT また、カウンターの値はによって制限されているため、カウンターをこれ以上インクリメントすることはできません。MMM 1.好きなだけステップを与えられた場合、多くの正の値のカウンターに到達できますか？ 2.ステップ後に、いくつの正の値のカウンターに到達できますか？T⋅M−1T⋅M−1T\cdot M - 1 質問（1）の場合、ここでは、正のカウンターの詳細なビルドを示します。≈Tlog(M)≈Tlog⁡(M)\approx T\log(M) 値カウンターが未満の場合： T−1T−1T-1MMM 値が厳密によりも小さい最小インデックスカウンターをインクリメントします。MMM （これは、カウンターの合計がステップごとに増加するようにバインドされているため、収束する必要があります。）TTT ましょ。r=Tr=Tr = T の間（）c0&gt;1c0&gt;1c_0>1 a。while（）c0&gt;crc0&gt;crc_0>c_r 増分crcrc_r b。r=r+1r=r+1r = r + 1 分析のために：最初の観察は、正のカウンターの数がです。rrr ここで、が到達した最大値とします。場合、ます。用我々得る、または一般にmrmrm_rcrcrc_{r}r=Tr=Tr=TM(1−1T)M(1−1T)M(1-\frac{1}{T})r=T+1r=T+1r=T+1mr(1−1T)=M(1−1T)2mr(1−1T)=M(1−1T)2m_r(1-\frac{1}{T})=M(1-\frac{1}{T})^2∀r≥T:mr=M(1−1T)r−T+1∀r≥T:mr=M(1−1T)r−T+1\forall r\geq T:m_r = M(1-\frac{1}{T})^{r-T+1} 次に、が達成されると、ます。これは、場合にループが停止することを意味します（積分またはゲーム終了戦略を与えるか、取る）。∀mr∀mr\forall m_rc0=mrc0=mrc_0=m_rmr&lt;1mr&lt;1m_r < 1 これにより、 M(1−1T)r−T+1&lt;1M(1−1T)r−T+1&lt;1M(1-\frac{1}{T})^{r-T+1} < 1 (1−1T)r−T+1&lt;M−1(1−1T)r−T+1&lt;M−1(1-\frac{1}{T})^{r-T+1} < M^{-1} (r−T+1)log(1−1T)&lt;−logM(r−T+1)log⁡(1−1T)&lt;−log⁡M({r-T+1}) \log (1-\frac{1}{T}) < -\log …
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「チェスを解く」ことの計算の複雑さは何ですか？
後方誘導の基本的な考え方は、プレーヤーXが勝利するゲームのすべての可能な最終位置から始めることです。チェスについては、ホワイトがブラックをチェックメイトできるすべての方法を見てください。今度は、ホワイトがそれらの位置の1つに移動することを可能にするすべての可能な移動/位置に逆戻りします。ホワイトがそのような立場に自分自身を見つけた場合、彼女は関連するチェックメイトの動きに移動することで勝つことができます。次に、別のステップを逆方向に進めます。最終的に、私たちはホワイトが行うことができるすべての可能な最初の動きに戻ります。重要なのは、これを実行したら、ブラックが行うすべての動きに対してホワイトが最高の反応を示すことがわかったということです。 最近（過去5年ほど）、チェッカーはこのようにして「解決」されました。明らかに、Noughts and Crosses（植民地が「三目並べ」と呼ぶかもしれないもの）は古くから解決されています。少なくともこのxkcdからですが、おそらくずっと前に。 だから問題は：この種の手順はどの要素に依存するのですか？おそらく法的地位の数。しかし、おそらく、特定のノードでの合法的な移動の数...そして、これを考えると、この種の問題はどのくらい複雑ですか？ おまけの質問：2000ドルのPCが1日でチェッカーを解決できるようになるまでどれくらいかかりますか？チェス？行く？（もちろん、このためには、家庭用コンピューターの増加する速度も考慮する必要があります...） これらのゲームをツリーとして表すことができるため、graph-algorithmsタグを追加しましたが、タグを悪用している場合は、より適切なものを追加してください
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