n-queens-completionの複雑さ？

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古典的なクイーン問題は、正の整数与えられた場合、次の条件を満たす整数の配列があるかどうかを尋ねます。 $n$ $n$ $Q[1..n]$

すべてのために $1\le Q[i] \le n$ $i$
すべてのに対して $Q[i] \ne Q[j]$ $i\ne j$
すべての $Q[i]-i \ne Q[j]-j$ $i\ne j$
すべての $Q[i]+i \ne Q[j]+j$ $i\ne j$

各整数は、チェス盤の番目の行のクイーンの位置を表します。制約は、クイーンが他のクイーンを攻撃しないという要件をエンコードします。または場合、解が存在しないことを証明するのは簡単です他のすべての値については、閉形式の解が知られています。したがって、決定問題として、 $Q[i]$ $i$ $n\times n$ $n=2$ $n=3$ $n$ $n$ クイーンズ問題は完全に些細な問題です。

クイーンソリューションを構築するための標準のバックトラッキングアルゴリズムは、行のプレフィックスにクイーンを推測的に配置し、残りの行にクイーンの正当な配置があるかどうかを再帰的に決定します。再帰的なサブ問題は、次のように形式化できます。 $n$

整数と整数の配列が与えられた場合、は -queens問題の解決策を記述する配列プレフィックスですか？ $n$ $P[1..k]$ $P$ $Q[1..n]$ $n$

これはより一般的な決定問題NP困難ですか？

ラテン方格の完成[ Colbourn 1984 ]、数独の完成[ Yato and Seta 2002 ]、および女王の異なる一般化[ Martin 2007 ] を含む、いくつかの近くの質問はNP困難であることが知られています。深刻な注意。 $n$

関連するcstheory.seの質問：

cc.complexity-theory board-games

— ジェフス
ソース

2

数独の既存のNP完全性の証明、ラテン方格の完成（および他の同様の問題のトン）がインスタンスの簡潔/スパース表現を本当に扱っているのではないかと思っています（例：ラテン方格補完NPC証明、Colbourn 「NPのメンバーシップは即時」と言いますが、インスタンスエンコーディングの問題については言及していません。

— マルツィオデビアシ14

1

@Marzio：これらの証拠は、インスタンスを参照するために、NPのメンバーシップを確立するために、多くの場合であっても容易ではありません（これは通常であってもでも言及されていない）表現に大きく依存している、とcstheory.stackexchange.com/a/5559/109

— アンドラーシュサラモン

16

何年もかかりましたが、この投稿は私たちに今日出てきた論文を書くきっかけになりました。

答えは、n Queens CompletionはNP完全であるということです。ただし、完全な開示については、問題のわずかなバリエーションを解決することに言及する必要があります。私たちの場合、クイーンのセットはフルセットのプレフィックスである必要はありません。技術的には、ここで尋ねられた正確な問題は解決していません。ただし、このクエリのn Queens CompletionのバージョンがNP-Completeでない場合は、非常に驚くでしょう。

ここでこの質問を提起してくれたJeffεへの論文の感謝を繰り返したいと思います。

n Queens Completion Journal of AI Research Gent、Jefferson、Nightingale doi：10.1613 / jair.5512 http://www.jair.org/papers/paper5512.htmlの複雑さ

— イアン・ゲント
ソース

いいねおめでとうございます！

— ジェフ

素朴な質問があります：長さ

（正しい）接頭辞がある

、接頭辞の対角線をチェックすることにより、

セットへの遷移を行うことができます。。そうですか、それとも何かが欠けていますか？（投稿の元の問題が正しい接頭辞を暗示していないことは理解できません）

n - 1

$n-1$

n

$n$

— Serg Rogovtsev

6

（これはいくつかの関連する結果を指します。最初は関連する結果は非常に関連していると思っていましたが、すぐにギャップを埋めることはできないので、結局はそれほど関連していないかもしれません。

The Art of Computer Programmingのセクション7.2.2.2の練習問題118 では、非常によく似た問題に注目しています。このソリューションでは、Knuthが記事をクレジットし、記事がクレジットします

Gardnera、Gritzmannb、Prangenbergc、X線から格子セットを再構成する計算の複雑さについて、1999

演習118では、BINARY DIGITAL TOMOGRAPHYがNP完全であることを証明しています。この問題の入力からすべて、ライン及び対角の和で構成され。 $[2]=\{0,1\}$

INPUT：と $r,c\in[2]^m$ $a,b\in[2]^{2m-1}$

$x\in[2]^{m\times m}$ $\sum_j x_{ij}=r_i$ $\sum_i x_{ij}=c_j$ $\sum_i x_{i,s-i}=a_s$ $\sum_i x_{i,d+i}=b_{d+m-1}$

これをあなたの問題にどのように減らすかは私には明らかではありません。役立つかもしれない観察の1つは、問題の出力も合計にのみ依存し、クイーンの正確な位置に依存しないことです。（多分これは見やすいかもしれませんが、[Rivin、n-Queens問題に対する動的プログラミングソリューション、 1992]の定理2.4 を参照してください。）

Knuthは、BINARY CONTINGENCY PROBLEMからの削減により、BINARY DIGITAL TOMOGRAPHYがNP完全であることを証明しています。これは非常によく似た問題ですが、3次元で、対角線がありません。

${xi},{xj},{xk}\in[2]^{n\times n}$

$x\in[2]^{n\times n\times n}$ $\sum_i x_{ijk}={xi}_{jk}$ $\sum_j x_{ijk}={xj}_{ik}$ $\sum_k x_{ijk}={xk}_{ij}$

Gardneraらによる記事。より標準的なNP完全問題から減少するようです。私はここでそれを説明するのに十分な減少を理解していないので、必要に応じて探索するために上からのポインタを残しておきます。

誰もがバイナリデジタルトモグラフィーを質問に限定する方法を見つけない限り、これはすべて役に立たない可能性があります。

— ラドゥ・グリゴア
ソース