理論計算機科学

この質問の目的は、コンピューターの体系的な使用が役立つ理論的なコンピューターサイエンスから例を収集することです。 定理につながる推測を構築する際に、 推測または証明アプローチを偽造すること、 証明の構築/検証（の一部）。 特定の例がある場合は、それがどのように行われたか説明してください。おそらくこれは、他の人が日常の研究でコンピューターをより効果的に使用するのに役立つでしょう（今日のTCSでは、これはかなり一般的ではないようです）。 （単一の「正しい」答えがないため、コミュニティWikiとしてフラグが立てられます。）

55 proofs  survey  examples 

（入力のサイズに関連して）指数関数的に多くのものをカウントすることを伴ういくつかのカウント問題がありますが、驚くべき多項式時間の正確な決定論的アルゴリズムを持っています。例は次のとおりです。 ホログラフィックアルゴリズムの動作の基礎となる、平面グラフ（FKTアルゴリズム）での完全一致のカウント。 グラフ内のスパニングツリーのカウント（キルヒホッフの行列ツリーの定理による）。 これらの例の両方で重要なステップは、特定のマトリックスの行列式を計算するためにカウントの問題を減らすことです。行列式自体はもちろん、指数関数的に多くのものの合計ですが、驚くべきことに多項式時間で計算できます。 私の質問は、行列式の計算に減らない問題を数えるために知られている「驚くほど効率的な」正確で決定論的なアルゴリズムはありますか？

54 cc.complexity-theory  counting-complexity  big-picture 

で記述複雑さ、Immermanあり 系譜7.23。次の条件は同等です 。1. P = NP。 2.有限の順序付けられた構造、FO（LFP）= SO以上。 これは、P = NPを（おそらく）より複雑なクラスの同等のステートメントに「増幅」するものと考えることができます。SOは多項式時間階層PHをキャプチャし、FO（LFP）はPをキャプチャするため、P = PHの場合、これはP = NPと考えることができます。 （これの興味深い部分は、P = NPがP = PHを意味するというステートメントです。NPを含むすべてのクラスCCでP = CCがP = NPを意味することは簡単です。Immermanは単に「if P = NP then PH = NP」おそらく、P = NPをPHのオラクル定義とともに使用して、階層全体が崩壊することを帰納的に示すことができるからです） 私の質問は： この方法でP = NPをさらに増幅できますか？ 特に、P = NPがP = CC 'を意味する最大の既知のクラスCC'と、P = NPがCC = NPを暗示する最小のクラスCCとは何ですか？これにより、P = NPを同等の質問CC = …

54 cc.complexity-theory  reference-request  complexity-classes  conditional-results  polynomial-hierarchy 

このサイトでの最初の質問です。私は計算理論の修士課程を取っています。P = NPの問題を10歳の子供にどのように説明するのか、なぜそのような金銭的な報酬があるのか​​？ あなたのテイク？ 私の頭がそれについてはっきりしたので、私は質問を更新します。

54 cc.complexity-theory  soft-question  teaching  p-vs-np 

情報理論を使用して簡潔な組み合わせステートメントを簡単な方法で証明するお気に入りの例は何ですか？ 私が考えることができるいくつかの例は、ローカルでデコード可能なコードの下限に関連しています。たとえば、このペーパーでは、長さのバイナリ文字列の束に対して、すべてのに対して異なるとますペア{ }、この場合、mは少なくともnの指数関数であり、指数は平均比に線形に依存します。 N iはkはI 、J 1、J 2 、EをI = X jの1 ⊕ X J 2。k i / mx1,...,xmx1,...,xmx_1,...,x_mnnniiikikik_ij1,j2j1,j2j_1,j_2ei=xj1⊕xj2.ei=xj1⊕xj2.e_i = x_{j_1} \oplus x_{j_2}.ki/mki/mk_i/m 別の（関連する）例は、ブールキューブの等周不等式です（回答でこれについて詳しく説明してください）。 もっと良い例はありますか？できれば、短く簡単に説明できます。

54 co.combinatorics  big-list  it.information-theory 

一流のコンピュータサイエンスの研究者や研究グループの多くが、アクティブなブログを維持しており、著者の興味のある分野の最新の研究に関する最新情報を常に提供しています。ほとんどの場合、ブログの投稿は正式な論文よりも理解しやすいです。なぜなら、ブログの投稿はほとんどの厄介な技術的な詳細を省略し、直観を強調しているためです。 したがって、他の推奨リソースのリストと同じ精神で、推奨ブログのリストを作成すると便利です。 誰がどんな論文を読むべきですか？ 誰もが読むべき本は何ですか？ 下書きがオンラインで入手できる最近のTCSブックは何ですか？ 誰がどんな動画を見るべきですか？ 誰もが読むべき講義ノートは何ですか？ もちろん、優れたTheory of Computing Blog Aggregatorに従うこともできますが、そのリストは、特に初心者にとっては圧倒的です。 推奨する理由を強調してください。

53 soft-question 

仮定と頂点集合上の2つの無向グラフである。グラフは同型であるか及び順列が存在する場合にのみようまたはより正式に、順列がある場合そのようなことはエッジで場合のみにもしのエッジである。グラフ同型問題は、与えられた2つのグラフが同型かどうかを決定する問題です。G1G1G_1G2G2G_2{1,…,n}{1,…,n}\{1, \dotsc, n\}ΠΠ\PiG1=Π(G2)G1=Π(G2)G_1 = \Pi(G_2)ΠΠ\Pi(i,j)(i,j)(i,j)G1G1G_1(Π(i),Π(j))(Π(i),Π(j))(\Pi(i),\Pi(j))G2G2G_2 DinurのPCP定理の証明のスタイルで「ギャップ増幅」を生成するグラフ上の操作はありますか？換言すれば、から多項式時間計算可能変換があるにように(G1,G2)(G1,G2)(G_1,G_2)(G′1,G′2)(G1′,G2′)(G'_1,G'_2) 場合と同型で、その後、とまた同型であり、G1G1G_1G2G2G_2G′1G1′G'_1G′2G2′G'_2 場合と同形ではなく、各順列のため、グラフ「であるから-far」いくつかの小さな定数を、手段-farは場合に私たちが選ぶ一様にランダム、その後の確率でののいずれか G1G1G_1G2G2G_2ΠΠ\PiG′1G1′G'_1ϵϵ\epsilonΠ(G′2)Π(G2′)\Pi(G'_2)ϵϵ\epsilonϵϵ\epsilon(i,j)(i,j)(i,j)ϵϵ\epsilon (i,j)(i,j)(i,j)はエッジで、はエッジではない、またはG′1G1′G'_1(Π(i),Π(j))(Π(i),Π(j))(\Pi(i),\Pi(j))G′2G2′G'_2 (i,j)(i,j)(i,j)エッジでない及びのエッジである。G′1G1′G'_1(Π(i),Π(j))(Π(i),Π(j))(\Pi(i),\Pi(j))G′2G2′G'_2

53 cc.complexity-theory  graph-isomorphism  pcp 

私の博士号 純粋な数学であり、私は理論的なCSについてあまり知らない（つまり何も）ことを認めます。しかし、私は自分のキャリアのための非学術的オプションの調査を開始し、機械学習を紹介する中で、「ニューラルネットワークがうまく機能する理由を誰も理解していない」などの文句を見つけました。 私の質問は、本質的に、研究者はどのような答えを望んでいるのですか？トピックに関する簡単な検索で見つけたものは次のとおりです。 単純なニューラルネットワークを実装するアルゴリズムは非常に簡単です。 SGDのプロセスは、統計理論と同様に数学的に十分に理解されています。 普遍的な近似定理は強力で証明されています。 素晴らしい最近の論文https://arxiv.org/abs/1608.08225があります。これは、モデル化しようとしている関数について強力な単純化仮定を立てることができるため、普遍的な近似は実際に実際に必要なものよりもはるかに多いという答えを本質的に提供します神経網。 前述の論文では、「GOFAIアルゴリズムは分析的に完全に理解されていますが、多くのANNアルゴリズムは発見的にしか理解されていません」と述べています。実装されたアルゴリズムの収束定理は、ニューラルネットワークについて持っていると思われる分析的理解の例であるため、この一般性のレベルでのステートメントは、既知のものと未知のもの、または「答え」とみなされるものについてあまり教えてくれません」 著者らは、結論として、与えられた多項式を近似するために必要なニューラルネットワークのサイズの有効な境界などの質問は、オープンで興味深いものであると示唆しています。私たちがニューラルネットワークを「理解している」と言うために答える必要がある数学的に特定の分析的な質問の他の例は何ですか？より純粋な数学言語で答えられる質問はありますか？ （この論文では物理学を使用しているため、表現理論の方法を具体的に考えています-そして、勝手に、それは私の研究分野であるためです。しかし、組み合わせ論/グラフ理論、代数幾何学などの分野も想像できます、実行可能なツールを提供するトポロジ。）

52 machine-learning 

NP完全問題の（検索バージョン）の場合、検証は多項式時間で実行できるため、解決策の検証は明らかに見つけるよりも明らかに簡単です。 ではP検証高速化ソリューションを見つけることよりもときに、それは明らかにいないようですので、しかし、解決策はまた、多項式時間で見つけることができます。実際、さまざまな問題はこの観点とは異なる振る舞いをしているようです。いくつかの例： 3SUM：入力番号が与えられ、それらの合計が0になる3を見つけます。私が知る限り、既知の最速のアルゴリズムは 時間で実行され、この順序は最適であると推測されます。一方、解決策の検証ははるかに高速です。必要なのは、見つかった3つの数値が実際に合計して0になることを確認するだけだからです。O （n 2 − o （1 ））nnnO(n2−o(1))O(n2−o(1))O(n^{2-o(1)}) すべてのペアの最短経路： エッジの重み付きのグラフが与えられた場合、最短経路距離行列を計算します。そのような行列が与えられたら、それを再計算するよりも、それが実際に正しい距離行列であることをより速くチェックできますか？私の推測では、答えはおそらく「はい」ですが、3SUMほど明白ではありません。 線形計画。クレームされた最適なソリューションが提供されている場合、補助情報も提供されている場合、最適なソリューションを再計算するよりも簡単に確認できます（最適なデュアルソリューション）。一方、主解のみが利用可能な場合、実際にLPを解くよりも、より速くチェックできるかどうかは明確ではありません。 質問：この主題について何が知られていますか？つまり、解を見つけるよりもPの問題の解を検証する方が簡単なのはいつですか？

52 cc.complexity-theory  ds.algorithms  reference-request 

検討の部分集合の互いに素なファミリーを{1,2、...、N}、。F 1、F 2、… F ttttF1、F2、… FtF1,F2,…Ft{\cal F}_1,{\cal F_2},\dots {\cal F_t} 仮定 （*） すべての およびすべてのおよび、を含むあります。R ∈ F I T ∈ F K S ∈ F J R ∩ Ti < j < ki<j<ki \lt j \lt kR ∈ F私R∈FiR \in {\cal F}_iT∈ FkT∈FkT \in {\cal F}_kS∈ FjS∈FjS \in {\cal F}_jR ∩ …

52 co.combinatorics  cg.comp-geom  open-problem  linear-programming 

アルゴリズムの効率を分析する2つの方法は次のとおりです。 ランタイムに漸近的な上限を設定する 実行して実験データを収集します。 （1）と（2）の間に大きなギャップがある既知のケースがあるのだろうか。これにより、（a）実験データがより厳密な漸近を示唆するか、（b）理論分析がXがYよりはるかに優れていることを示唆し、実験データがYがはるかに優れていることを示唆するようなアルゴリズムXおよびYがあることを意味しますバツ。 実験では通常、平均ケースの動作が明らかになるため、最も興味深い答えは平均ケースの上限を参照するものと期待しています。ただし、シンプレックスに関するNoamの回答など、さまざまな境界について話す興味深い回答を除外したくありません。 データ構造を含めます。回答ごとに1つのアルゴ/ DSを入力してください。

52 ds.algorithms  big-list  ds.data-structures 

この質問は、1998年に岡崎の本が出版されてからのPFDSの新機能に関する別の質問に触発されたものです。 まず、次の2つの質問から始めます。 ハッシュテーブルの速度に近づく純粋に機能的なセットデータ構造はありますか？試行錯誤はまだありません。 O（1）が追加された純粋に機能的なフィンガーツリーはありますか？これまでのベストは、カプランとタージャンによって考案されたO（lg lg n）です。 他に純粋に機能するデータ構造の問題は何ですか？

51 big-list  ds.data-structures  functional-programming 

理論的なコンピューター科学者は何をするのかとよく聞かれます。この質問に対していくつかの素晴らしい回答をいただければ幸いです。私は技術的な専門用語に頼る傾向があり、この時点で人々の目は通常glみます。 理論的なコンピューター科学者は、コンピューター科学者ではない人々が理解できる用語で何をしますか？ 良い答えは、漠然としていたり​​、ささいなことをせずに、きびきびと、精神的に正確でなければなりません。ボーナスポイントについては、理論上のコンピューター科学者が数学者でもIT専門家でもない理由を示唆する答えが必要です。 この質問は、MOの質問https://mathoverflow.net/questions/3559/colloquial-catchy-statements-encoding-serious-mathematicsに触発されていますが、意図は異なります。

51 big-list  soft-question 

Stephen Wiesnerは、有名な論文「Conjugate Coding」（1970年頃に執筆）で、発行銀行が乱数の巨大なテーブルにアクセスでき、紙幣を持ち込めると仮定して、偽造が無条件に不可能な量子マネーのスキームを提案しました。確認のため銀行に戻ります。ウィーズナーの方式では、各紙幣は、古典的な「シリアル番号」で構成されて量子お金の状態と一緒に、から成る非交絡量子ビット、それぞれのいずれかをsss|ψs⟩|ψs⟩|\psi_s\ranglennn |0⟩, |1⟩, |+⟩=(|0⟩+|1⟩)/2–√, or |−⟩=(|0⟩−|1⟩)/2–√.|0⟩, |1⟩, |+⟩=(|0⟩+|1⟩)/2, or |−⟩=(|0⟩−|1⟩)/2.|0\rangle,\ |1\rangle,\ |+\rangle=(|0\rangle+|1\rangle)/\sqrt{2},\ \text{or}\ |-\rangle=(|0\rangle-|1\rangle)/\sqrt{2}. 銀行は、すべて古典的な記述を記憶しています。したがって、が検証のために銀行に戻されると、銀行は各キュービットを正しい基準で測定できます（または）、正しい結果が得られることを確認します。|ψs⟩|ψs⟩|\psi_s\ranglesss|ψs⟩|ψs⟩|\psi_s\rangle|ψs⟩|ψs⟩|\psi_s\rangle{|0⟩,|1⟩}{|0⟩,|1⟩}\{|0\rangle,|1\rangle\}|+⟩,|−⟩|+⟩,|−⟩{|+\rangle,|-\rangle} 一方、理由は不確定性関係の（あるいは、無クローニング定理）、それの「直感的に明らかに」という、もし偽造しない正しい塩基試行をコピーするために知っている、その後、偽造者の出力状態の両方が銀行の検証テストに合格する確率は、定数に対して最大でになります。さらに、これは、量子力学と一致して、偽造者が使用する戦略に関係なく当てはまるはずです（たとえば、偽造者が派手な絡み合い測定を使用している場合でも）。|ψs⟩|ψs⟩|\psi_s\ranglecncnc^nc&lt;1c&lt;1c<1|ψs⟩|ψs⟩|\psi_s\rangle しかし、他の量子マネースキームに関する論文を書いている間、私の共著者と私は、上記の主張の厳密な証拠はどこにも見られなかったこと、または明示的な上限はWiesnerの元の論文でも後の論文でも見られなかったことに気付きました。ccc だから、持っている（上に拘束して、このようなAの証拠を）に公開されていますか？そうでない場合は、（たとえば）近似クローンの定理の近似バージョンから、またはBB84量子キー配布スキームのセキュリティに関する結果から、そのような証明を多少なりとも簡単に導出できますか？ccc 更新：以下のJoe Fitzsimonsとの議論を踏まえて、私はBB84のセキュリティからの単なる削減以上のものを探していることを明確にする必要があります。むしろ、私は成功した偽造の確率（つまり）の明示的な上限を探してい -そして理想的には、最適な偽造戦略がどのように見えるかについての理解も必要です。すなわち、最適戦略は、基本的に言うと、各キュビットを単純に測定しますccc|ψs⟩|ψs⟩|\psi_s\rangle {cos(π/8)|0⟩+sin(π/8)|1⟩,sin(π/8)|0⟩−cos(π/8)|1⟩}?{cos⁡(π/8)|0⟩+sin⁡(π/8)|1⟩,sin⁡(π/8)|0⟩−cos⁡(π/8)|1⟩}?\{ \cos(\pi/8)|0\rangle+\sin(\pi/8)|1\rangle, \sin(\pi/8)|0\rangle-\cos(\pi/8)|1\rangle \}? それとも、より優れた絡み合った偽造戦略がありますか？ 更新2：現在、私が知っている最良の偽造戦略は、（a）上記の戦略、および（b）ベースで各キュービットを単純に測定する戦略と「最高のものを願っています。」興味深いことに、これらの戦略はどちらも（5/8）nの成功確率を達成します。したがって、現時点での私の推測では、（5/8）nが正しい答えかもしれません。いずれにせよ、5/8がcの下限であるという事実は、「あまりにも」単純なWiesnerスキームのセキュリティ引数を除外します（たとえば、偽造者ができることは些細なことではないという効果に対する引数正解はc = 1/2）です。{|0⟩,|1⟩}{|0⟩,|1⟩}\{|0\rangle,|1\rangle\} 更新3：いいえ、正しい答えは（3/4）nです！Abel Molinaの回答の下のディスカッションスレッドを参照してください。

50 quantum-computing 

MOでの実り多い質問に続いて、CSでいくつかの注目すべき論文名について議論する価値があると思いました。 私たちのほとんどが面白いタイトルの論文を読む（または少なくとも一見）に惹かれる（少なくとも会議で論文のリストを調べるたびにそうする）こと、あるいは貧弱な読書を避けることに魅力があるかもしれません。名前付き記事。 タイトル（および、必ずしもそうではないが、内容）のために、どの論文を覚えていますか？ 私のお気に入りは、適切なTCS論文ではありませんが、「リレーショナルモデルは死んでおり、SQLは死んでおり、自分自身はそれほど気分が良くありません」です。。

50 soft-question  big-list