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メトリックTSPは以内で近似でき、多項式時間でを近似できないことが知られています。指数時間（たとえば、多項式空間のみでステップ未満）で近似解を見つけることについて何か知られていますか？たとえば、距離が最大ツアーを見つけることができる時間と空間は何ですか？1231.51.51.5 2n1.1×OPT123122123122123\over 1222n2n2^n1.1 × O PT1.1×OPT1.1\times OPT

44 cc.complexity-theory  graph-algorithms  approximation-algorithms  tsp  exp-time-algorithms 

1次元の巡回セールスマンパス問題は、明らかに、並べ替えと同じことなので、時間で比較することで正確に解決できますが、近似だけでなく正確にも定式化されますソリューションは理にかなっています。入力が実数であり、整数への丸めが可能な計算モデルでは、任意の定数について、時間因子内に近似するのは簡単です。：最小値と最大値を見つけ、元の値から距離以内の数値にすべてを丸めてから、基数ソートを使用します。しかし、丸めのあるモデルには複雑な理論があるため、計算の弱いモデルについてはどうでしょうか？O(nlogn)O(nlog⁡n)O(n\log n)1+O(n−c)1+O(n−c)1+O(n^{-c})cccO(n)O(n)O(n)(max−min)n−(c+1)(max−min)n−(c+1)(\max-\min)n^{-(c+1)} そのため、計算の線形比較ツリーモデル（各比較ノードは入力値の線形関数の符号をテスト）で、時間の複雑度がo（n \ logであるアルゴリズムによって、1次元TSPをどれだけ正確に近似できるかn）o(nlogn)o(nlog⁡n)o(n\log n)？同じ丸め方法により、n ^ {1-o（1）}の形式の近似比をn1−o(1)n1−o(1)n^{1-o(1)}実現できます（バイナリ検索を使用して丸めを行い、より粗く丸めて十分に高速化する）。しかし、いくつかの\ epsilon> 0に対してO（n ^ {1- \ epsilon}）のような近似比を達成することは可能ですか？O(n1−ϵ)O(n1−ϵ)O(n^{1-\epsilon})ϵ>0ϵ>0\epsilon>0

21 ds.algorithms  approximation-algorithms  sorting  tsp 

DNAアルゴリズムとチューリングマシンを使用して定義された複雑度クラスとの関係は何ですか？時間や空間などの複雑さの尺度は、DNAアルゴリズムでどのように対応しますか？それらは、フォンノイマンマシンが実際には現実的に解決できないTSPのようなNP完全問題のインスタンスを解決するために使用できますか？

21 cc.complexity-theory  np-hardness  natural-computing  tsp 

最短スーパーストリング問題の正確な複雑さについて何が知られていますか？よりも速く解けるO∗(2n)O∗(2n)O^*(2^n)か？TSPに減らすことなく最短スーパーストリングを解決する既知のアルゴリズムはありますか？ UPD： O∗(⋅)O∗(⋅)O^*(\cdot)は、多項式因子を抑制します。 最短スーパーストリング問題は、その答えが、ストリングの特定のセットからの各ストリングを含む最短ストリングである問題です。問題は、有名なNP困難問題Shortest Superstringの最適化拡張についてです（Garey and Johnson、p.228）。

18 cc.complexity-theory  ds.algorithms  graph-theory  tsp  exp-time-algorithms 

この質問は、以前ここでコンピュータサイエンススタックエクスチェンジに投稿されました。 あなたが全国のクライアントと非常に成功した旅行セールスマンだと想像してください。配送を高速化するために、50キロメートルの有効範囲を持つ使い捨て配送ドローンを開発しました。この革新により、各都市に旅行して商品を配達する代わりに、ヘリコプターを50 km以内に飛ばし、ドローンが仕事を終えるだけで済みます。 問題：移動距離を最小化するには、どのようにヘリコプターを飛ばす必要がありますか？ より正確には、ユークリッド平面内の実数およびN個の異なる点{ p 1、p 2、… 、p N }が与えられた場合、各点について半径Rの閉じた円盤と交差する経路は総弧長を最小にしますか？パスを閉じる必要はなく、任意の順序でディスクと交差できます。R > 0R>0R>0NNN{ p1、p2、… 、pN}{p1、p2、…、pN}\{p_1, p_2, \ldots, p_N\}RRR 明らかに、この問題はとしてTSPに減少するため、効率的な正確なアルゴリズムを見つけることは期待できません。文献でこの問題が何と呼ばれているか、そして効率的な近似アルゴリズムが知られていれば、私は満足するでしょう。R → 0R→0R \to 0

15 ds.algorithms  approximation-algorithms  tsp 

ハミルトン閉路問題（HC）は、与えられた無向グラフ中の全ての頂点を通過するサイクルを見つけることにあります。巡回セールスマン問題（TSP）は、与えられたエッジ重み付きグラフのすべての頂点を通過し、サイクルのエッジの重みの合計によって測定された総距離を最小限にサイクルを見出すことにあります。HCはTSPの特殊なケースであり、両方ともNP完全であることが知られています[Garey＆Johnson]。（これらの問題の詳細と変形については、上記のリンクを参照してください。） ハミルトニアンサイクル問題が非自明なアルゴリズムを介して多項式時間で解けるが、巡回セールスマン問題はNP困難であるグラフの研究されたクラスはありますか？ 非自明では、ハミルトニアンサイクルが存在することが保証され、簡単に見つけることができる完全なグラフのクラス、または一般にHCが常に存在することが保証されるグラフのクラスなどのクラスを除外します。

13 cc.complexity-theory  np-hardness  hamiltonian-paths  tsp  graph-classes 

Ola Svenssonによるこの講義ノート：http : //theory.epfl.ch/osven/courses/Approx13/Notes/lecture4-5.pdfで、ユークリッドTSPがNPにあるかどうかはわかりません。 理由は、平方根を効率的に計算する方法がわからないからです。 一方、Papadimitriouによるこの論文があります：http ://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0304397577900123 それはNP完全であると言っています。彼は論文でそれを証明していませんが、私は彼がNPのメンバーシップを些細なことであると考えていると思います。これは通常そのような問題の場合です。 私はこれに混乱しています。正直なところ、ユークリッドTSPがNPであるかどうかわからないという主張は、TSPツアーを証明書として取るのは簡単だと思っていたので、私はショックを受けました。しかし、問題は平方根が存在する可能性があることです。そのため、講義ノートでは基本的に、多項式時間では次の問題を解決できないと主張しています。 有理数を考えると、かどうかを判断√q1、…、qn、A ∈ Qq1、…、qn、A∈Qq_1,\ldots,q_n,A\in\mathbb{Q}。q1−−√+ ⋯ + qn−−√≤ Aq1+⋯+qn≤A\sqrt{q_1}+\cdots+\sqrt{q_n}\leq A 質問1：この問題について何を知っていますか？ これにより、次の単純化が求められますが、見つけることができませんでした。 質問2：場合、これは特別な場合に還元できますか？この特別な場合の多項式時間は解けるか？n = 1n=1n=1 しばらくそれについて考えて、私はこれに来ました。入力のビット数に関する多項式時間の複雑さを求めます。つまり、数値自体のサイズではありません。合計を多項式の10進数の数字に簡単に計算できます。悪いケースを取得するために、我々は、のインスタンス必要のためのK = 1 、2 、...毎の多項式のためのように、P、整数が存在Kように√q1 、k、… 、qn 、k、Ak∈ Qq1、k、…、qn、k、Ak∈Qq_{1,k},\ldots,q_{n,k},A_k\in\mathbb{Q}K = 1 、2 、...k=1、2、…k=1,2,\ldotspppkkkおよびAkは、10進数展開の最初のp（input-size）桁で一致します。q1 、k−−−√+ ⋯ + qn 、k−−−√q1、k+⋯+qn、k\sqrt{q_{1,k}}+\cdots+\sqrt{q_{n,k}}AkAkA_kp （入力サイズ）p（入力サイズ）p(\text{input-size}) 質問3：このような実数のインスタンスはありますか？ しかし、とは何ですか？これは有理数の表現方法に依存します！今、私はこれについて興味があります：入力サイズ入力サイズ\text{input-size} 質問4：有理数は2つの整数の比として与えられる場合であるが、アルゴリズム的に重要である（例えば、または（例えば、小数の膨張）2.5334 ¯ 567）？言い換えると、小数展開のサイズが比率表現のサイズまたは他の方法で多項式的に制限されないような有理数のファミリーがありますか？24 / 1324/1324/132.5334 567¯¯¯¯¯¯¯¯2.5334567¯2.5334\overline{567}

12 np  tsp  computing-over-reals 

私はメタヒューリスティックスのコースを教えており、プロジェクトという用語の古典的な組み合わせ問題の興味深いインスタンスを生成する必要があります。TSPに注目しましょう。次元以上のグラフに取り組んでいます。私はランダムから採取された値を用いてコストマトリックスとグラフを生成するために、もちろん試みU （0 、1 ）、及び（ランダムパスの多くをサンプリングして描画された）パスコストのヒストグラムは、（予想通り）ことを見出し非常に狭い正規分布（μは100ですが、σは約4です）200200200U（0 、1 ）U(0,1)U(0,1)μμ\mu 100 100~100σσ\sigma444）。これは、私の意見では、ほとんどのランダムパスは平均を下回り、最小コストパスはランダムパスに非常に近いため、問題は非常に簡単であることを意味します。 だから、私は、次のアプローチを試みた。生成した後 -マトリックスを、グラフの周りに長いランダムウォークを取り、ランダム（ベルヌーイを用いて、P = 0.5）、二重またはエッジの値を半減します。これはすべての値を下げ、最終的にはゼロに達する傾向がありますが、適切な数のステップを実行すると、μが約2、σが約1の分布が得られます。U（0 、1 ）U(0,1)U(0,1)p = 0.5p=0.5p=0.5μμ\mu222σσ\sigma111 私の質問は、最初に、これは興味深い問題の良い定義でもありますか？理想的には、非常にマルチモーダル（最も一般的な近傍関数の場合）であり、最小値の近くにパスがほとんどないため、ほとんどのランダム解が最適値から非常に離れているインスタンスが必要です。2番目の質問は、この説明を踏まえて、そのような特性を持つインスタンスをどのように生成できるかということです。

9 ds.algorithms  co.combinatorics  optimization  tsp  heuristics 

ではグラフィックTSP、あなたは重み付けされていない無向グラフ与えられ、ゴールは最短ツアー見つけることである訪問し、すべての頂点ことを少なくとも一回。これはハミルトニアン回路を見つけることと同じではないことに注意してください。私の質問は：GGGGGGGGG 制限付きツリー幅グラフのグラフィックTSPの複雑さは何ですか？ 自明でない多項式時間アルゴリズムを使用するGraphic TSPの特別なケースはありますか？

9 ds.algorithms  treewidth  tsp 

それらがSAT / SMTインスタンスとして（決定問題として）時間ウィンドウ（VRPTW）を使用した車両ルーティング問題を定式化するアプローチであるかどうか疑問に思いますか？（代替：TSP） 例： 「n = 10台の車で時間枠内にすべての顧客を訪問する有効なソリューションはありますか？」 この決定問題は、使用する車両の数を最小限に抑える最初のステップに役立ちます。 私はSMTの経験はありませんが、座標/時間を実数として処理する場合に必要になると思います。 通常、すべてのTSP / VRPの定式化は、混合整数プログラミングドメインで行われますが、sat / smtの定式化は、上記の決定問題に対して（実際の解決時間に関して）競争力があるのだろうかと思います。 それで、あなたはどう思いますか： 参考文献を知っていますか？ sat / smtアプローチは競争力があると思いますか？ 他に言及したいことはありますか？ ご協力ありがとうございます。 サシャ 編集：VRPTWに関連するTCSのより一般的な問題としてTSPについて述べたので、VRPTW の他の「部分的な問題」であるJob Shop Scheduling問題についても言及する必要があります。たぶん、この分野の研究者たちはSAT / SMTで何かを試みました。

9 ds.algorithms  reference-request  sat  reductions  tsp 

Michael HeldとRichard M. Karpによる「シーケンス問題への動的プログラミングアプローチ」を調べたところ、TSPのアルゴリズムの複雑さが(∑n−1k=2k(k−1)(n−1k))+(n−1)(∑k=2n−1k(k−1)(n−1k))+(n−1)(\sum_{k=2}^{n-1}k(k-1)\binom{n-1}{k})+(n-1)（p。199）、それらは係数kkkどこで取るのですか？私が正しく理解していれば、k−1k−1k-1は都市の各サブセットの追加数を意味します。それでは、各加算演算が未知のkkk演算と結合されるのはなぜですか？どういうわけか最小値を取ることに関係していると思いますが、最小値を計算することはそれほど多くの操作を必要としないようです。 次のように保持し、カープと独立ベルマン実行によって動的プログラミングアルゴリズム：各ペアのための(S,ci)(S,ci)(S,c_i)を経由する経路を意味し、c1c1c_1、すべての要素SSSとで終端cicic_i計算 OPT[S,ci]=min{OPT[S∖{ci},cj]+d(cj,ci):cj∈S∖{ci}},OPT[S,ci]=min{OPT[S∖{ci},cj]+d(cj,ci):cj∈S∖{ci}},OPT[S,c_i]=min\{OPT[S\setminus\{c_i\},c_j]+d(c_j,c_i):c_j\in S\setminus\{c_i\}\}, ここで、d(cj,ci)d(cj,ci)d(c_j,c_i)は、都市cjcjc_jとc_iの間の距離を意味しcicic_iます。次に、紙の公式では、kkkはSのサイズを意味しますSSS。

9 ds.algorithms  tsp  exp-time-algorithms