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グラフアルゴリズムの実装をテストするために、膨大なデータセットのソースを探しています。また、ソース内のグラフのタイプ/分布（たとえば、有向/無向、単純/非単純、加重/無加重）に関する情報がわかっている場合は、その情報も提供してください。

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ましょ大きさの固定された正の整数であるビット。nAAAnnn 必要に応じて、この整数を前処理できます。 サイズビットの別の正の整数が与えられた場合、乗算複雑さは？m A BBBBmmmABABAB すでにアルゴリズムがあることに注意してください。ここでのクエリは、巧妙なもので\ epsilon = 0を取ることができるかどうかです。 ϵ = 0(max(n,m))1+ϵ(max(n,m))1+ϵ(\max(n,m))^{1+\epsilon}ϵ=0ϵ=0\epsilon=0

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問題は、多項式を計算することです。すべての係数が機械語に適合する、つまり単位時間で操作できると仮定します。（a1x + b1）× ⋯ × （anx + bn）(a1x+b1)×⋯×(anx+bn)(a_1 x + b_1) \times \cdots \times (a_n x + b_n) ツリー形式でFFTを適用することにより、時間を実行できます。O （n log n ）はできますか？O （n ログ2n ）O(nlog2⁡n)O(n \log^2 n)O （n ログn ）O(nlog⁡n)O(n \log n)

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LET重み関数とのグラフである。最大カットの問題は以下を見つけることです： If重み関数は負ではありません（つまり、すべてのe \ in E に対してw（e）\ geq 0）、max-cutには非常に単純な2近似が多くあります。たとえば、次のことができます。G = （V 、E 、W ）G=(V,E,w)G = (V, E, w)W ：E → Rw:E→Rw:E\rightarrow \mathbb{R}のarg maxのS ⊂ V Σ （U 、V ）∈ E ：U ∈ S 、V ∉ S W （U 、V ）argmaxS⊂V∑(u,v)∈E:u∈S,v∉Sw(u,v)\arg\max_{S \subset V} \sum_{(u,v) \in E : u \in S, v \not …

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標準的な教科書または伝統に従うとき、私たちのほとんどは、アルゴリズムクラスの最初の数回の講義で、大オー表記法の次の定義を教えます おそらく、すべての量指定子を含むリスト全体を提供することもあります。f= O （g） IFF （∃ C > 0 ）（∃ N0≥ 0 ）（∀ N ≥ N0）（f（N ）≤ C ⋅ G（n ））。f=O（g） iff （∃c>0）（∃n0≥0）（∀n≥n0）（f（n）≤c⋅g（n））。 f = O(g) \mbox{ iff } (\exists c > 0)(\exists n_0 \geq 0)(\forall n \geq n_0)(f(n) \leq c \cdot g(n)). f= o （g） IFF （∀ C > …

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よく知られているアルゴリズムのほとんどは、入力と出力が「プレーン」データであるという意味で、1次です。いくつかは、ソート、ハッシュテーブル、またはマップとフォールド関数など、些細な方法で二次的なものです：それらは関数によってパラメーター化されますが、他の入力データの一部でそれを呼び出すことを除いて、それで実際に面白いことは何もしません。 一部は2次ですが、やや興味深いものもあります。 モノイドによってパラメーター化されたフィンガーツリー 単調な述語でフィンガーツリーを分割する 通常はモノイドや述語などによってパラメータ化されたプレフィックス和アルゴリズム。 最後に、私にとって最も興味深い意味で「真に」高次のものもあります。 Yコンビネーター 差分リスト 他の重要な高次アルゴリズムは存在しますか？ 私の質問を明確にするために、「非自明な高次」の下で、「アルゴリズムのインターフェースおよび/または実装で重要な方法で計算形式の高次機能を使用する」ことを意味します

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通常、NP困難な問題に対する（保証付きの）ソリューションの近似について考えます。Pで既に知られている問題を近似する研究が進行中ですか？これはいくつかの理由で良い考えかもしれません。私の頭の中で、近似アルゴリズムは、はるかに低い複雑さで（またははるかに小さい定数で）実行される場合があります。 また、時間/精度のトレードオフ（FPTASおよびPTAS）を提供するスキームは、大きな入力では受け入れられない下限を持つPの問題にとって非常に魅力的です。 3つの質問：これを明らかに悪いアイデアにしているものがありますか？これらのアルゴリズムの理論を開発する研究が進行中ですか？そうでない場合、少なくとも、そのようなアルゴリズムの個々の例に精通している人はいますか？

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もちろん、問題は二重カウントです。特定のクラスのDAG =ツリー、またはシリアル/パラレルツリーでさえも簡単に実行できます。妥当な時間で一般的なDAGで機能する唯一のアルゴリズムは近似アルゴリズム（Synopsis拡散）ですが、その精度の向上はビット数で指数関数的です（そして多くのビットが必要です）。 背景：このタスクは、BBChop（http://github.com/ealdwulf/bbchop）の確率計算の一部として、断続的なバグを見つけるためのプログラム（つまり、「ベイズバージョン」 git bisect '）。したがって、問題のDAGは改訂履歴です。つまり、エッジの数がノードの数の2乗に近づく可能性は低く、小さなkの場合、ノードの数のk倍未満になる可能性が高いことを意味します。残念ながら、リビジョンDAGの他の有用なプロパティは見つかりませんでした。たとえば、最大のトライコネクテッドコンポーネントがノード数の平方根としてのみ成長することを期待していましたが、悲しいことに（少なくともLinuxカーネルの歴史では）線形に成長します。

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Arora-Kale SDPソルバーがほぼ線形時間でGoemans-Williamson緩和を近似する方法、Plotkin-Shmoys-Tardosソルバーがほぼ線形時間で分数の「パッキング」および「カバー」問題を近似する方法、およびアルゴリズムがどのように「専門家から学ぶ」抽象的なフレームワークのインスタンス化です。 ケールの論文には優れたプレゼンテーションがありますが、抽象的なフレームワークに直接ジャンプすることは非常に難しいと思います。何をすべきかが絶対に明らかな単純な問題の例から始めて、より一般的な問題に移りたいと思います、アルゴリズムとその分析に「機能」を徐々に追加します。 例えば： Plotkin-Shmoysは、重みのない頂点カバーの線形計画緩和をどのように解決しますか？重み付き頂点カバー？カバーをセットしますか？二部一致？ Arora-Kaleアルゴリズムが何か面白いことをしている最も単純な例は何ですか？グラフのラプラシアンの最大固有値をどのように計算しますか？ （ラプラシアンの最大固有値を計算することは、Max CutのGoemans-Williamson SDP緩和の弱いバージョンを解く問題に相当します。各ベクトルの長さを1つにする代わりに、平方和を求めます。 | V |となる規範の）

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私は（現時点では）最も多くの何であるか、不思議ように、自然の問題は、次のプロパティで知られています：kkk アンアルゴリズムは、すでに問題のために発見されました。O(nk)O(nk)O(n^k) 固定の場合、同じ問題に対するアルゴリズムは知られていません。（より高速なアルゴリズム存在するがある注意してください。まだ知られていないため、実証済みの下限を探していません。）ϵ>0ϵ>0\epsilon>0O(nk−ϵ)O(nk−ϵ)O(n^{k-\epsilon})maymaymay 問題の説明自体は依存しません。（この条件は、「定数について、入力グラフでサイズクリークを見つける」などのパラメータ化されたケースを除外するために必要です。）kkkkkkkkk ある意味で、このような問題は、で最も困難な既知の自然な問題とれる可能性があります（最速の既知のアルゴリズムの指数に関して）。PP\bf P

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多くの問題について、非常にエレガントなランダム化アルゴリズムを知っているが、決定的な解決策がないか、より複雑なだけであるとよく耳にします。ただし、これについてはほんのいくつかの例を知っています。最も顕著に ランダム化クイックソート（および関連する幾何学的アルゴリズム、たとえば凸包用） ランダム化されたミンカット 多項式IDテスト クレーの測定問題 これらのうち、ランダム性を使用しないと多項式の同一性テストのみが本当に難しいようです。 ランダム化された解決策は非常にエレガントまたは非常に効率的ですが、決定論的解決策はそうではない問題の例をもっと知っていますか？理想的には、問題は素人向けの動機付けが容易でなければなりません（たとえば、多項式の同一性テストとは異なります）。

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私は、どのタイプの（連続）数学プログラム（MP）を効率的に解くことができ、どのタイプはできないかについて、連続最適化の文献とTCSの文献にかなり混乱しています。継続的最適化コミュニティは、すべての凸型プログラムを効率的に解くことができると主張しているようですが、「効率的」の定義はTCSの定義と一致しないと思います。 この質問はここ数年私を悩ませており、明確な答えを見つけることができないようです。多項式時間で正確に解くことができるMPのクラス、およびその手段によって、これを一度解決するのに役立つことを願っています。そして、多項式時間で正確に解けないMPの最適解を近似することについて何が知られていますか？ 以下に、この質問に対する不完全な回答を示しますが、これは一部の場所でも間違っている可能性があります。そのため、間違っている箇所を確認して修正してください。また、答えられないいくつかの質問も述べています。 楕円体法または内点法を実行し、その後、丸め処理を実行することにより、線形計画法を多項式時間で正確に解くことができることは誰もが知っています。線形プログラミングは、「分離オラクル」を提供できる限り、任意の超大量の線形制約を持つLPファミリーに直面する場合、変数の数の時間多項式で解くことさえできます。 、そのポイントが実行可能かどうかを決定するか、実行可能なポイントの多面体からポイントを分離する超平面を出力します。同様に、これらのLPの双対に分離アルゴリズムを提供する場合、任意の超大量の変数を持つLPファミリーに直面するときの制約の数における時間多項式の線形計画法。 楕円体法は、目的関数の行列が正（半？）定である場合に、多項式時間で2次プログラムを解くこともできます。私は、分離オラクルのトリックを使用することにより、信じられないほどの数の制約を処理している場合、これを行うこともできると考えています。本当？ 最近、半正定値プログラミング（SDP）は、TCSコミュニティで多くの人気を得ています。内点法または楕円法を使用して、任意の精度でそれらを解決できます。平方根を正確に計算できないという問題のために、SDPは正確に解決できないと思います。（？）SDP用のFPTASがあると言ったら正しいでしょうか？私はどこでもそれを述べたことを見なかったので、それはおそらく正しくない。しかし、なぜ？ LPとSDPを任意の精度で正確に解くことができます。他のクラスの円錐プログラムはどうですか？楕円法を使用して、2次コーンプログラムを任意の精度で解くことができますか？知りません。 楕円体法を使用できるMPのクラスはどれですか？このようなMPは、任意の精度まで答えを与えるためにどのような特性を満たす必要があり、多項式時間で正確な解を得るためにどのような追加の特性が必要ですか？内点法についても同じ質問です。 ああ、そして最後に、コンティニュアスオプティマイザーが凸プログラムを効率的に解くことができると言っているのはなぜですか？凸プログラムに対する任意精度の答えが多項式時間で見つかるのは本当ですか？そうではないので、「効率的」の定義はどの面で私たちのものと異なるのでしょうか？ どんな貢献でも大歓迎です！前もって感謝します。

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アルゴリズム設計の聖杯の1つは、線形計画法の強力な多項式アルゴリズム、つまり、ランタイムが変数と制約の数が多項式で制限され、パラメーターの表現のサイズに依存しないアルゴリズムを見つけることです（仮定単位コスト計算）。この質問を解決することは、線形計画法のためのより良いアルゴリズムの外で意味を持ちますか？たとえば、そのようなアルゴリズムの存在/非存在は、幾何学または複雑性理論に影響を及ぼしますか？ 編集：結果によって私が意味することを明確にする必要があるかもしれません。私は数学的な結果または条件付きの結果、現在真実であることが知られている意味を探しています。たとえば、「BSSモデルのLPの多項式アルゴリズムは、代数的複雑度クラスFOOとBARを分離/崩壊させます」、または「強力な多項式アルゴリズムが存在しない場合、ポリトープに関するそのような推測を解決します」、または「a LPとして配合することができる問題Xのための強力な多項式のアルゴリズムは、興味深い結果を持っているでしょう何とかし」。Hirsch予想は、シンプレックスが多項式である場合にのみ適用されることを除いて、良い例です。

31 ds.algorithms  conditional-results  linear-programming  computing-over-reals  simplex 

内部のランダム性に関係なく常に同じ（正しい）回答を出力するが、予想される実行時間が既知の最速の実行時間よりも良いようにランダム性を活用する、検索問題のランダム化アルゴリズムの興味深い例はありますか問題の決定論的アルゴリズム？ 特に、nと2nの間の素数を見つけるためのそのようなアルゴリズムがあるかどうか疑問に思っていました。既知の多項式時間決定論的アルゴリズムはありません。間隔でランダムな整数をサンプリングするだけで機能する単純なランダム化アルゴリズムがあります。これは素数定理のおかげで機能します。しかし、予想実行時間が2つの中間である上記の種類のアルゴリズムはありますか？ 編集：私の質問をわずかに絞り込むために、多くの可能な正しい出力があり、しかもランダム化されたアルゴリズムがそのランダム性に依存しないものに落ち着く問題のために、このようなアルゴリズムが欲しかった。質問がおそらく完全に指定されていないことを理解しています...

31 ds.algorithms  randomized-algorithms 

色の近似数は、Jung / Shahのアルゴリズムを使用して、マイナー除外されたグラフで簡単に思えます。一般的なグラフでは難しいが、マイナーな除外グラフでは簡単な問題の他の例は何ですか？ 更新10/24 Groheの結果に従って、有界ツリー幅グラフでテストするFPTの式は、マイナーな除外グラフでテストするFPTであるようです。さて、問題は、そのような数式の割り当てを満たすカウントの扱いやすさにどのように関係するのでしょうか？ 上記の記述は偽です。MSOLは、有界ツリー幅グラフではFPTです。ただし、3色性は、マイナー除外されていない平面グラフではNP完全です。

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