理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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固定次数を持つランダム有向グラフのプロパティ
固定次数のランダム有向グラフの特性にddd興味があります。私は、各頂点がdの隣人を選択するランダムなグラフモデルを想像しています（たとえば、置換）uar 質問：これらのランダムグラフでのランダムウォークの定常分布と混合時間について（さまざまな値について）何か知られていますか？ ddd ブールアルファベット上のランダムオートマトンのモデルに対応する場合に特に興味があります。（はい、これらのグラフはしばしば接続されていないことを認識していますが、特定のコンポーネントで何が起こるか？）これらのグラフの他のプロパティに関する部分的な結果と結果に満足しています。d=2d=2d = 2 ランダムグラフに関する文献のほとんどは、私が考えているモデルとは性質が非常に異なるエルデス・レニーモデルに焦点を当てているようです。
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リーダー、ライターモナド
してみましょうあることCCC。してみましょうの製品bifunctorも。通り猫が CCCである、我々はカレーできる：CCC(×)(×)(\times)CCC(×)(×)(\times) curry(×):C→(C⇒C)curry(×):C→(C⇒C)curry (\times) : C \rightarrow(C \Rightarrow C) curry(×)A=λB.A×Bcurry(×)A=λB.A×Bcurry (\times) A = \lambda B. A \times B ファンクターカテゴリは、通常のモノイダル構造があります。C⇒CC⇒CC \Rightarrow C でモノイド中モナドである。C⇒CC⇒CC \Rightarrow CCCC 有限積をモノイド構造と見なします。CCC curry(×)1≅idcurry(×)1≅idcurry (\times) 1 \cong id ∀A B.curry(×)(A×B)≅(curry(×)A)∘(curry(×)B)∀A B.curry(×)(A×B)≅(curry(×)A)∘(curry(×)B)\forall A\ B. curry (\times) (A\times B) \cong (curry (\times) A) \circ (curry (\times) B) したがって、はモノイド構造を保持するため、モノイドにモノイドを、コモノイドをコモナに輸送します。つまり、任意のモノイドをモナドに転送します（定義を見てくださいはモノイドでなければなりません）。同様に、それは輸送対角線comonoidにCoreaderの comonadを。w （W …
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デランダム化の初心者向けガイド
私はこのテーマに関する本Pairwise Independence and Derandomizationを見つけましたが、チュートリアル志向よりも研究志向です。 私は「ランダム化解除」の主題に慣れていないので、どの参照から開始するのか知りたいですか？ 技術的な詳細だけでなく、文学や歴史について議論するものが好きです。
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サイクルの3色のマルコフ連鎖の急速な混合
Glauberダイナミクスは、各ステップでランダムに選択された頂点の色をランダムに変更しようとするグラフの色付けに関するマルコフ連鎖です。5サイクルの3色は混合されません。30色の3色がありますが、単一頂点の色変更ステップで到達できるのは15色のみです。より一般的には、n = 4でない限り、nサイクルの3色で混色しないことが示されます。 KempeチェーンまたはWang-Swendsen-Koteckýダイナミクスは、もう少し複雑です：各ステップで、ランダムな頂点vとランダムな色cを選択しますが、2つの色（cとv）およびvを含むコンポーネント内でこれらの色を交換します。Glauberダイナミクスとは異なり、サイクルの3色すべてに到達できることを確認するのは難しくありません。 W-Swendsen-Koteckýダイナミクスは、n頂点サイクルグラフの3色で急速に混合しますか？ たとえば、Molloy（STOC 2002）による結果では、Glauberは色の数が少なくとも1.489倍の程度（ここではtrue）であり、色付けされるグラフの周囲が大きい（true）場合に急速に混合しますが、次数がグラフのサイズで少なくとも対数であることを要求します（サイクルグラフには当てはまりません）。
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効率的な証明機能を備えたMIP
検証者が多項式時間（MIP）で実行される2証明者の対話型証明システムを持つ言語のセットがNEXPであることはよく知られています。しかし、証明者の権限が制限されている場合、そのようなインタラクティブな証明の力には限界がありますか？たとえば、多項式時間証明を使用した2証明者の対話型証明を許可する言語のクラスは何ですか？ より正確に言えば、入力xで任意の事前計算時間を証明者に許可しますが、検証者との相互作用が開始されると、多項式空間（事前計算の結果の保存を含む）と多項式時間の使用に制限されます検証者の質問に対する回答を計算します。また、検証者が何らかの方法で使い果たしてしまう、より些細な解決策を排除するために、これらの空間と時間の境界は、検証者によって送信される質問の長さ（xの長さではなく）の固定多項式であると仮定します多項式的により多くの質問をすることによって証明者の空間が制限されます。 明らかに、これはNPに十分です。PSPACEはどうですか？スペースが限られている場合、彼らはそれを行うことができますが、時間の制限はどうですか？その方向に興味深い結果はありますか？ 私はまた、証明者について考慮するかもしれない他の制限にも興味があります。それらの1つは、通信証明者->検証者の量であり、PCPの文脈で徹底的に研究されていると思います。他の興味深い制約は何ですか？
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ブルートフォースと最適なアルゴリズムのギャップに基づく複雑さの代替概念？
通常、効率的なアルゴリズムには、多項式ランタイムと指数関数的に大きな解空間があります。これは、問題が2つの意味で簡単でなければならないことを意味します：1つ目は、多項式のステップ数で問題を解決できること、2つ目は、実行可能数が多対数であるためランタイムが非常に構造化されていることです。 ただし、これらの2つの概念が異なる場合があり、問題は最初の意味でのみ簡単です。たとえば、近似アルゴリズムとパラメーター化された複雑さの一般的な手法は、（おおよそ）解空間を実際の単純な定義よりもはるかに小さいサイズに制限できることを証明し、ブルートフォースを使用してこの制限された空間で最適な答えを見つけることです。たとえば、n ^ 3個の可能な答えにアプリオリに制限できても、それぞれを確認する必要がある場合は、ブルートフォースよりも優れたアルゴリズムがないという点で、ある意味でこのような問題は依然として「困難」です。 逆に、可能性のある指数関数的な数の答えに問題があるが、指数関数的な時間でしか解決できない場合、そのような問題は「簡単」（「構造化」の方が良いかもしれないと言いたい）単語）ランタイムはソリューションスペースサイズのログのみであるため。 効率的なアルゴリズムと、ブルートフォースまたは解空間のサイズに対する硬度とのギャップに基づいた硬度のようなものを検討している論文を誰もが知っていますか？
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量子コンピューティング構造の既知の実装はありますか？
量子計算は、量子物理学（量子もつれなど）を利用してコンピューターの効率を向上させることを目的とした研究の活発な分野です（チャーチチューリングテーゼを変更しません）。 量子計算理論（キュービットやテレポーテーションなど）を実証するために実施された最も重要な実験は何ですか？
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Hフリーカットの問題
接続された単純な無向グラフHが与えられたとします。 Hフリーカットの問題は次のように定義されます。 単純な無向グラフGが与えられた場合、カットセット（LおよびR）によって誘導されるグラフの両方にHに同型なサブグラフが含まれないようなカット（頂点を2つの空でないセットL、Rに分割）があります。 たとえば、Hが1つのエッジで接続された2つの頂点を持つグラフである場合、問題はグラフが2部でPにあるかどうかを判断することと同じです。 Hが三角形の場合、これは単色三角形問題の頂点バージョンに似ています。 Hが少なくとも3つの頂点で2連結されている場合、Hフリーカットの問題はNP完全であることを示すことができたと思います。 私はこの問題への参照を見つけることができませんでした（そして、結果も）。 2連結性条件を削除しても、NP完全性を証明できますか？ 上記またはより強力な結果を意味する既知の結果を知っている人はいますか（または関連があると思われますか）？
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感度がブロック感度であるブール関数
感度とブロック感度に関する研究の一部は、がよりも多項式的に大きいという推測を解決するために、s(f)s(f)s(f)と間にできるだけ大きなギャップがある関数を調べることを目的としています。bs(f)bs(f)bs(f)bs(f)bs(f)bs(f)s(f)s(f)s(f)。反対方向はどうですか？のs(f)=bs(f)s(f)=bs(f)s(f) = bs(f)関数について知られていることは何ですか？ 通常、定数関数には0=s(f)=bs(f)0=s(f)=bs(f)0=s(f)=bs(f)ます。同様に、のs(f)=ns(f)=ns(f) = n関数もs(f)=bs(f)s(f)=bs(f)s(f) = bs(f)持ちます。簡単ではありませんが、単調関数もこの等式を満たしていることを示すのはそれほど難しくありません。を持つ他の素晴らしいクラスの関数はありますか？完全な特性評価が理想的です。要件をさらに強化してs(f)=bs(f)s(f)=bs(f)s(f) = bs(f)s0(f)=bs0(f)s0(f)=bs0(f)s^0(f) = bs^0(f)およびs1(f)=bs1(f)s1(f)=bs1(f)s^1(f) = bs^1(f)？ この質問の動機は、感度がブロック感度にどのように関連するかについてのいくつかの直観を得ることです。 定義 ましょうf:{0,1}n→{0,1}f:{0,1}n→{0,1}f:\{0,1\}^n\rightarrow \{0,1\}上のブール関数であるnnnビットワード。以下のためx∈{0,1}nx∈{0,1}nx \in \{0,1\}^nとA⊆{0,1,…,n}A⊆{0,1,…,n}A \subseteq \{0,1,\ldots,n\}、聞かせてxAxAx^A表すnnnから得られたビットワードxxxによって指定されたビット反転させることによってAAA。A = {の場合A={i}A={i}A = \{i\}、これを単にxixix^iとして示します。 我々は定義の感度fff時xxxとしてs （f、x ）= ＃{ i | f（x私）≠ f（x ）}s(f,x)=#{i|f(xi)≠f(x)}s(f,x) = \# \{ i | f(x^i) \neq f(x)\}。つまり、fの出力を反転するために反転できるのはバツxxのビット数です。fの感度をs （f ）= max x s （f 、x …
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2つのパーティション間の距離を編集する
2つのパーティションがあり[1…n][1…n][1 \ldots n]、それらの間の編集距離を探しています。 これによって、パーティションAからパーティションBに移動するために必要な、ノードの異なるグループへの単一の遷移の最小数を見つけたいと思います。 たとえば、から{0 1} {2 3} {4}への距離は{0} {1} {2 3 4}2 検索した後、私はこの論文に出くわしましたが、a）彼らが遠くにいるグループ（私は気にしない）の順序を考慮に入れているかどうかはわかりませんb）それがどのように機能するかはわかりませんc）参照はありません。 助けていただければ幸いです
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である
次の論文の「最初のページ」の「最後の段落」： ビクラマンアービンド、ヨハネスKöbler、ウウ・ショーニング、ライナー・シュラー、理論計算機科学、1995年「NPは多項式サイズ回路、そしてMA = AMを、持っている場合」。 私はやや直感に反する主張に遭遇しました： (ΣP2∩ΠP2)NP=ΣP3∩ΠP3(Σ2P∩Π2P)NP=Σ3P∩Π3P(\Sigma^P_2 \cap \Pi^P_2)^{NP} = \Sigma^P_3 \cap \Pi^P_3 上記のアイデンティティは以下から推測されると思います： (ΣP2)NP=ΣP3(Σ2P)NP=Σ3P(\Sigma^P_2)^{NP} = \Sigma^P_3 そして (ΠP2)NP=ΠP3(Π2P)NP=Π3P(\Pi^P_2)^{NP} = \Pi^P_3 前者はと簡単に記述できますが、これは非常に奇妙です！(NPNP）NP= NPNPNP(NPNP)NP=NPNPNP(NP^{NP})^{NP} = NP^{NP^{NP}} 編集：以下のクリストファーのコメントを踏まえて、ゴールドライヒの複雑さの本（pp。118-119）から次の感動的な発言を追加したいと思います。 がオラクルマシンのクラスに自然に一般化される標準マシンのクラスに関連付けられている場合、2つの複雑度クラスおよびに対してクラスを定義できることは明らかです。実際、クラスはクラス基づいて定義されているのではなく、クラス類似しています。具体的には、 C 1 C 2 C 1 C C 2 1 C 1 C 1CC21C1C2C_1^{C_2}C1C1C_1C2C2C_2C1C1C_1CC21C1C2C_1^{C_2}C1C1C_1C1C1C_1特定のリソースの境界（時間および/または空間の境界など）がある特定のタイプ（たとえば、決定論的または非決定論的）のマシンによって認識可能な（またはむしろ受け入れられる）セットのクラスです。次に、類似のオラクルマシン（つまり、同じタイプで同じリソース境界を持つ）を検討し、適切なオラクルマシン（つまり、このタイプおよびリソース境界を持つ）が存在する場合、と言います。 ）とセットよう集合受け付ける。S∈CC21S∈C1C2S \in C_1^{C_2}M1M1M_1S2∈C2S2∈C2S_2 \in C_2MS21M1S2M_1^{S_2}SSS
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NP完全問題を使用したパスワードハッシュ
一般的に使用されるパスワードハッシュアルゴリズムは、今日このように機能します。パスワードをソルトし、KDFにフィードします。たとえば、PBKDF2-HMAC-SHA1を使用すると、パスワードハッシュプロセスはになりDK = PBKDF2(HMAC, Password, Salt, ...)ます。HMACは埋め込みキーを使用した2ラウンドハッシュであり、SHA1は一連の置換、シフト、回転、ビット単位の操作であるため、プロセス全体は基本的に特定の方法で編成された基本的な操作です。基本的に、彼らが実際に計算するのがどれほど難しいかは明らかではありません。これがおそらく一方向関数が依然として信念である理由であり、歴史的に重要な暗号化ハッシュ関数のいくつかが安全ではなく非推奨になっているのを見てきました。 NPの完全な問題を活用して、パスワードをまったく新しい方法でハッシュすることが可能かどうか疑問に思い、より強固な理論的基礎を提供したいと考えました。重要な考え方は、P！= NP（P == NPの場合OWFがない場合、現在のスキームも壊れる）と仮定すると、NPCの問題であるということは、答えは検証しやすいが計算が難しいことを意味します。このプロパティは、パスワードハッシュの要件に適しています。パスワードをNPCの問題に対する答えと見なすと、NPCの問題をパスワードのハッシュとして保存して、オフライン攻撃に対抗できます。パスワードを確認するのは簡単ですが、解読するのは困難です。 警告は、同じパスワードがNPC問題の複数のインスタンスにマッピングされる場合があり、おそらくすべてを解決するのが難しいわけではありません。この研究の最初のステップとして、私はバイナリ文字列を3-SAT問題への答えとして解釈し、バイナリ文字列が解決策である3-SAT問題のインスタンスを構築しようとしていました。最も単純な形式では、バイナリ文字列にはx_0、x_1、x_2の3ビットがあります。次に、2 ^ 3 == 8句があります。 000 ( (x_0) v (x_1) v (x_2) ) -------------------------------------- 001 ( (x_0) v (x_1) v NOT(x_2) ) 010 ( (x_0) v NOT(x_1) v (x_2) ) 011 ( (x_0) v NOT(x_1) v NOT(x_2) ) 100 ( …
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このグラフの問題の複雑さは何ですか？
単純な無向グラフ与えられると、頂点のサブセットを見つけます。A ≠ ∅GGGA≠∅A≠∅A\neq \emptyset 以下のための任意の頂点の隣人の半数以上でにもあり、およびX Ax∈Ax∈Ax\in AxxxAAA のサイズは最小です。AAA つまり、すべての内部頂点の近傍の少なくとも半分が内部にとどまるクラスターを探しています。頂点セット全体が常にプロパティ1を持っているため、このようなクラスターの単なる存在は明らかです。V(G)V(G)V(G) この問題の標準名はありますか？その複雑さについて何が知られていますか？
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交点である
3つの一般的なマトロイドの交差がNP困難（ソース）であることが知られていますが、これはハミルトニアンサイクルからの縮約によって行われます。削減では、1つのグラフィックマトロイドと2つの接続マトロイドを使用します。 私が取り組んでいる問題の特殊なケースは、複数のグラフィックマトロイドを交差させることで解決できますが、この問題がPにあるかどうかはわかりません。 質問：それは知られていますか？誰かが私に論文などを紹介してもらえますか？ （注：コンピューターサイエンスでこの質問をしたことがあり、ここで紹介されました。）
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BPPがP / polyにあることがわかった後、BPPとPは本当の問題ですか？
私たちは知っている含めることを（今の約40年間、エーデルマン、ベネットとギルに感謝）BPP ⊆⊆\subseteq P /ポリ、そしてさらに強力なBPP /ポリ⊆⊆\subseteq P /ポリホールド。「/ poly」は不均一に動作することを意味します（入力長ごとに個別の回路）。この「/ poly」なしのPは、すべての可能な入力長に対して1つのチューリングマシンがあることを意味します。 =次の「ビッグバン」までの秒数。nnnnnnnnnn 質問1：BPP P / poly を知った後、BPP = Pの証明（または反証）が私たちの知識にどのような貢献をしますか？ ⊆⊆\subseteq 「新規」とは、他の複雑度クラスの崩壊/分離など、本当に驚くべき結果を意味します。これを、NP P / poly の証明/証明がもたらす結果と比較してください。 ⊆⊆\subseteq 【ADDED 2017年8月10日]は一の本当に驚くべき結果BPPは Pは、で示されるように、それをあろうImpagliazzoとWigderson、 すべての（！）で問題 E = DTIMEなければなりませんサイズ回路。この結果を思い出してくれたRyanに感謝します。[ 2 O （n ） ]⊈⊈\not\subseteq [2O(n)][2O(n)][2^{O(n)}]2o(n)2o(n)2^{o(n)} 質問2：BPP / poly \ subseteq P / poly の証明と同様の線に沿ってBPP = Pを証明できないのはなぜ ですか？ ⊆⊆\subseteq …
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