サイクルの3色のマルコフ連鎖の急速な混合

Glauberダイナミクスは、各ステップでランダムに選択された頂点の色をランダムに変更しようとするグラフの色付けに関するマルコフ連鎖です。5サイクルの3色は混合されません。30色の3色がありますが、単一頂点の色変更ステップで到達できるのは15色のみです。より一般的には、n = 4でない限り、nサイクルの3色で混色しないことが示されます。

KempeチェーンまたはWang-Swendsen-Koteckýダイナミクスは、もう少し複雑です：各ステップで、ランダムな頂点vとランダムな色cを選択しますが、2つの色（cとv）およびvを含むコンポーネント内でこれらの色を交換します。Glauberダイナミクスとは異なり、サイクルの3色すべてに到達できることを確認するのは難しくありません。

W-Swendsen-Koteckýダイナミクスは、n頂点サイクルグラフの3色で急速に混合しますか？

たとえば、Molloy（STOC 2002）による結果では、Glauberは色の数が少なくとも1.489倍の程度（ここではtrue）であり、色付けされるグラフの周囲が大きい（true）場合に急速に混合しますが、次数がグラフのサイズで少なくとも対数であることを要求します（サイクルグラフには当てはまりません）。

私はDana Randallから次のソリューションをメールで受け取ったので、ソリューションに対するクレジットは彼女に送られるべきであり（これは、この答えに賛成しないでください）、バグは私によって導入された可能性があります。

Danaのソリューションの短いバージョンは、説明したマルコフ連鎖を使用する代わりに、潜在的に大きな2色の領域を再色付けする代わりに、2つの頂点の色を繰り返し削除する「熱浴」を使用してから、有効なランダムに着色します。このチェーンが混在する場合、他のチェーンも同様であることを示すのは難しくありません。しかし、標準パス結合引数は、熱浴が実際に混合することを示すために機能することが判明しました。

長いバージョンは長すぎてここに含めることができないため、代わりにブログ記事に掲載します。