このグラフの問題の複雑さは何ですか？

単純な無向グラフ与えられると、頂点のサブセットを見つけます。 $G$ $A\neq \emptyset$

以下のための任意の頂点の隣人の半数以上でにもあり、および $x\in A$ $x$ $A$
のサイズは最小です。 $A$

つまり、すべての内部頂点の近傍の少なくとも半分が内部にとどまるクラスターを探しています。頂点セット全体が常にプロパティ1を持っているため、このようなクラスターの単なる存在は明らかです。 $V(G)$

この問題の標準名はありますか？その複雑さについて何が知られていますか？

graph-theory graph-algorithms np-hardness

Satisfactory Partition問題の変形のようです。あなたのバリアントが既知であり、NPCであることが証明されているかどうかはわかりません。しかし、おそらくk-クリークからの削減は機能するはずです。元のグラフの各ノードを、サイズ「外部クリーク」のノードにリンクします（各ノードには外部クリークがあります）。次に、元のグラフに

クリークが存在する場合にのみ、サイズ

自明でないセット

を見つけることができます（少なくともノードを選択する必要がありますが、外部クリークは避ける必要があります）。しかし、それは単なるアイデアです。十分な時間があれば、削減が正しいかどうかを確認します。

v_{i}

$v_i$

k + 1

$k+1$

C_{i}

$C_i$

2 (k + 1)

$2(k+1)$

A

$A$

k

$k$

k

$k$

— マルツィオ

@MarzioDeBiasiいくつかの検索の後、Satisfactory Partition Problemが実際に関連していることがわかりました。ただし、私が見つけることができるすべてのバリアントでは、単一のセットではなくパーティションを探します。それらがどのように関係しているかは明らかではありません。あなたの削減では、私が何かを誤解しない限り、元のグラフの

クリークは定義を満たしません。その中の各ノードには

内部近傍がありますが、外部の追加により少なくとも

外部近傍があるためですクリーク。

k

$k$

k - 1

$k-1$

k + 1

$k+1$

— アンドラスファラ

この問題は「防衛同盟」として知られていると思います

— -daniello

@daniello：素晴らしい、私は調査IG Yero、JA Rodriguez-Velazquez、「グラフの防衛同盟：調査」、2013年に検索しましたが、「半分」という単語は見つかりませんでした。十分な時間があれば、注意深く読みます。OPの問題はすでに知られている可能性があります！

— マルツィオ

「すべての頂点は少なくとも外側と内側に隣接している」として定式化されているようで、これは丸めまでの質問と同じで、おそらく頂点自体をカウントに含める/含めない

— -daniello

これはクリークからあなたの問題への減少です。

我々は、クリークのインスタンスで開始：グラフと整数、聞かせて。 $G$ $k$ $V = \{ v_1, v_2,...,v_n\}$

クリークは、さらに制約の下でNPCのまま次の場合（証明スケッチ次に、追加します $max(deg(v_i)) \leq 2(k-1)$ $max(deg(v_i) > 2(k-1)$ $K_t$ そしてそれをすべてのノードに接続し、新しいグラフでサイズクリークを求めます）。 $t = 2(k-1) - max(deg(v_i))$ $G$ $k' = k + t$

我々は、そうで仮定する、。各ノードに対して、サイズ（すべてのノード「外部」クリークを作成します。 $G$ $max(deg(v_i)) \leq 2(k-1)$ $v_i$ $deg(v_i) < 2(k-1)$ $C_i$ $2(k+1)+1$ クリークには少なくとも近傍があります）。 $C_i$ $2(k+1)$

もしの程度であり、我々コネクトにの節。 $deg(v_i)$ $v_i$ $v_i$ $2(k-1) - deg(v_i)$ $C_i$

結果の、各は次数持ちます。そう少なくとも一つの頂点を選択しなければならないからです。 $G'$ $v_i$ $2(k-1)$ $|A| \geq k$

の頂点の1つが含まれて場合、少なくともノードも挿入する必要があることは明らかです。元のノードに場合、リンクされた少なくとも1つのノードを含める必要があることに注意してください。 $C_i$ $A$ $2(k+1)/2 = k+1$ $deg(v_i) < k-1$ $C_i$ $|A| > k$

したがって、最小サイズのセットを作成できますは、にサイズクリークが含まれる場合にのみ。 $A$ $|A| = k$ $G$ $k$

黄色のノードと太字のエッジで表されるグラフにサイズ（三角形）のクリークが含まれているかどうかを確認する削減の例。 $G$ $k = 3$

（読みやすくするためにグループ化された）青色ノードである、赤色エッジは、ノード間のリンクであると。 $K_9$ $G$ $deg(v_i) < 2(k-1)$

— マルツィオ・デ・ビアシ
ソース

@WillardZhan：のすべての頂点ので、

次数有する

構成で、もしそうであれば

一つの頂点を含んでいて、それが少なくとも含まれている必要があります

隣人（およびそのすべての頂点に適用される

）、そう

。「最小サイズ」

は、

がサイズ

クリークである場合にのみ実現できます。

G^{'}

$G'$

\geq 2 (k - 1)

$\geq 2(k-1)$

A

$A$

2 (k - 1) / 2 = k - 1

$2(k-1)/2 = k-1$

A

$A$

| A | \geq k

$|A| \geq k$

k

$k$

A

$A$

k

$k$

— マルツィオ

@WillardZhan：開始クリークの問題に別の条件を追加しました（ただし、NPCのままにする必要があります）...まだチェックしています（全体的に正しいとは思いません）。

— マルツィオ

はい、今では完全に動作します（

の表現では

でなければなりません）。おそらくコメントを削除しますか？

k^{'}

$k'$

t

$t$

— ウィラード

@WillardZhan：私はそれの段落で、私はクリーク[インスタンスから還元を参照だから、それは、正しいと思う

]クリークに+制約

[インスタンス

]。

は、制約を安定させるCliqueの新しいインスタンスを取得するためにGに追加するノード（クリーク）の数です。

(G, k)

$(G,k)$

m a x (d e g (v_{i})) \leq 2 (k - 1)

$max(deg(v_i)) \leq 2(k-1)$

(G^{'}, k^{'})

$(G',k')$

t

$t$

— マルツィオデビアージ