とがPDFでiidである場合の分布
私は次の問題に取り組んでいます： LET及び一般的な密度を有する独立したランダム変数である。してみましょうU = \分（X、Y）とV = \ MAX（X、Y） 。（U、V）の結合密度を求め、したがってU + Vの確率密度関数を求めます。XXXYYYf(x)=αβ−αxα−110<x<βf(x)=αβ−αxα−110<x<βf(x)=\alpha\beta^{-\alpha}x^{\alpha-1}\mathbf1_{0<x<\beta}α⩾1α⩾1\alpha\geqslant1U=min(X,Y)U=min(X,Y)U=\min(X,Y)V=max(X,Y)V=max(X,Y)V=\max(X,Y)(U,V)(U,V)(U,V)U+VU+VU+V U+V=X+YU+V=X+YU+V=X+Y、私は単にのPDFファイルを見つけることができますX+YX+YX+YのPDFものを見るためにU+VU+VU+Vなければなりません。 T = X + Yのpdf T=X+YT=X+YT=X+YがfT(t)=∫f(t−y)f(y)dy=α2β−2α∫min(t,β)max(t−β,0)(y(t−y))α−1dy10<t<2β(1)(1)fT(t)=∫f(t−y)f(y)dy=α2β−2α∫max(t−β,0)min(t,β)(y(t−y))α−1dy10<t<2βf_T(t)=\int f(t-y)f(y)\,\mathrm{d}y=\alpha^2\beta^{-2\alpha}\int_{\max(t-\beta,0)}^{\min(t,\beta)}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y\,\mathbf1_{0<t<2\beta}\tag{1} ただし、その積分を単純化できるかどうかはわかりません。 実際の質問に戻ってくるの関節PDF (U,V)(U,V)(U,V)によって与えられます。 fU,V(u,v)=2f(u)f(v)10<u<v<β=2α2β−2α(uv)α−110<u<v<βfU,V(u,v)=2f(u)f(v)10<u<v<β=2α2β−2α(uv)α−110<u<v<βf_{U,V}(u,v)=2f(u)f(v)\mathbf1_{0<u<v<\beta}=2\alpha^2\beta^{-2\alpha}(uv)^{\alpha-1}\mathbf1_{0<u<v<\beta} 変数(U,V)→(W,Z)(U,V)→(W,Z)(U,V)\to(W,Z)ましたW=U+VW=U+VW=U+VおよびZ=UZ=UZ=Uです。ヤコビアンの絶対値は1です。また、0<u<v<β⟹0<z<w2<β0<u<v<β⟹0<z<w2<β0<u<v<\beta\implies 0<z<\frac{w}{2}<\betaです。したがって、Wの限界pdf WWWは fW(w)=2α2β−2α∫w/20(z(w−z))α−1dz10<w<2β(2)(2)fW(w)=2α2β−2α∫0w/2(z(w−z))α−1dz10<w<2βf_W(w)=2\alpha^2\beta^{-2\alpha}\int_0^{w/2}(z(w-z))^{\alpha-1}\,\mathrm{dz}\,\mathbf1_{0<w<2\beta}\tag{2} 確率変数の適切なサポートで、いくつかのエラーを犯した可能性があります。また、積分が基本関数の観点から解を持たない可能性もあります。いずれにしても、積分を進めることができませんでした。したがって、がと同じpdf であることを確認することさえできませんでした。と分布が異なるようです。そして、好奇心から、の分布には名前がありますか（その場合、そのような2つの確率変数のたたみ込みを検索したでしょう）。W=U+VW=U+VW=U+VT=X+YT=X+YT=X+YWWWTTTXXX 編集。 手で取得した最後の積分を続行 ∫w/20(z(w−z))α−1dz=w2α−1∫1/20tα−1(1−t)α−1dt=w2α−1I1/2(α,α)B(α,α)∫0w/2(z(w−z))α−1dz=w2α−1∫01/2tα−1(1−t)α−1dt=w2α−1I1/2(α,α)B(α,α)\int_0^{w/2}(z(w-z))^{\alpha-1}\,\mathrm{dz}=w^{2\alpha-1}\int_0^{1/2}t^{\alpha-1}(1-t)^{\alpha-1}\,\mathrm{dt}=w^{2\alpha-1}I_{1/2}(\alpha,\alpha)B(\alpha,\alpha)ここで、は正則化された不完全ベータ関数です。プロパティ、を取得します。最後に、IxIxI_{x}Ix(a,b)=1−I1−x(b,a)Ix(a,b)=1−I1−x(b,a)I_x(a,b)=1-I_{1-x}(b,a)I1/2(α,α)=12I1/2(α,α)=12I_{1/2}(\alpha,\alpha)=\frac{1}{2}∫w/20(z(w−z))α−1dz=12w2α−1B(α,α)∫0w/2(z(w−z))α−1dz=12w2α−1B(α,α)\int_0^{w/2}(z(w-z))^{\alpha-1}\,\mathrm{dz}=\frac{1}{2}w^{2\alpha-1}B(\alpha,\alpha) これは、 fW(w)=α2β−2αB(α,α)w2α−110<w<2βfW(w)=α2β−2αB(α,α)w2α−110<w<2βf_W(w)=\alpha^2\beta^{-2\alpha}B(\alpha,\alpha)w^{2\alpha-1}\mathbf1_{0<w<2\beta} これがの特定の範囲内の密度ではないことは容易にわかります。だから、どこかで大きな間違いをしたような気がします。Mathematicaで計算を確認しましたが、彼らは同意しているようです。www