コサインカーネルはベータ分布の場合と理解できますか？

Wand and Jones（1995）が述べたように、ほとんどの標準カーネルは、

K (x; p) = {2^{2 p + 1} B (p + 1, p + 1)}^{- 1} (1 - x^{2})^{p} 1_{{| x | < 1}}

$K(x;p) = \{ 2^{2p+1} \; \mathrm{B}(p+1,p+1) \}^{-1} \; (1-x^2)^p \;\boldsymbol{1}_{\{|x|<1\}}$

ここで、 $\mathrm{B}(\cdot,\cdot)$ はベータ関数です。異なる値は $p$ 、長方形（ $p=0$ ）、エパネチニコフ（ $p=1$ ）、バイウェイト（ $p=2$ ）、およびトライウェイト（ $p=3$ ）カーネルにつながります。

余弦カーネル（R density関数で理解できる）

\frac{1}{2} (1 + \cos (π x)) 1_{{| x | < 1}}

$\frac{1}{2} (1 + \cos(\pi x)) \;\boldsymbol{1}_{\{|x|<1\}}$

この家族の一員としても考えられますか？もしそうなら、それのための適切な値は何 $p$ ですか？いくつかのシミュレーションを実行した後、 $\approx 2.35$ はかなり近いと思いますが、（方法）シミュレーションなしで適切なものを見つけるにはどうすればよいですか？そうでない場合、ベータ分布を使用して概算できますか？

ワンド、MPおよびジョーンズ、MC（1995）。 カーネル平滑化。 チャップマンとホール、ロンドン。

distributions kernel-smoothing beta-distribution

— ティム
ソース

整数の引数を持つベータ関数は階乗の比率のほんの一部ですが、整数以外の引数の場合、便利なものに単純化されることはないと思います。そしてそれは確かに依存する単なる数値なので、この式から余弦関数を取得する方法はありません。

p

$p$

— amoeba 2016年

@amoebaまだ、近似できますか？そして2番目の質問は、他のカーネルの値をどのようにして見つけたかです。

— Tim

@ティム、「どうやって見つけたの？」とはどういう意味ですか？差し込むだけ？

— Christoph Hanck、2016年

@amoebaでは、余弦全体は必要ありませんが、 -1,1間の曲線のみが必要です。ご存じのとおり、これは多項式の無限和です（ゼロ付近のテイラー展開）。

{- 1, 1}

$\{-1,1\}$

— Firebug 2016年

@ChristophHanck正解、これは明白でした。私はこの質問を撤回します:)どういうわけか私は直接それに集中するのではなく、ベータ分布の観点からそれについて考えることから始めました。

— Tim

コサインカーネルはベータ分布ではありません。

次のことがすべて標準のコサイン密度に当てはまることに注意してください。

$f(0)=1$
$f(0.5)=0.5$
この密度の右半分は、について回転対称です（つまり、他の2つの特性を考慮すると、意味します） $x=\frac12$ $1-f(x)=f(1-x)$

しかし、（-1,1）のベータ密度はこれらのすべての特性を一緒に持ちません。

対称ベータカーネル密度は、次のように記述できます。

$g(x;a)= \frac{(1-x^2)^{a-1}}{\text{B}(a,a)2^{2a-1}}\,,\:-1<x<1\,,\:a>0$

たとえば、最初の条件はが約（）であることを意味します。2番目は、が1（）であることを意味します。 $a$ $3.38175$ $p=2.38175$ $a$ $p=0$

しかし、値の近いものを選択（3.38175）は実際にはかなり近い余弦に密度を提供します。 $a$ $a$

[これはあなたのかなり近いです（以降）。この領域の値の範囲は、コサインと同様の密度を与えます。] $p=2.35$ $p=a-1$

密度の最小絶対偏差は発生します。絶対偏差を最小化すると、プロパティが最も類似するわけではありません。 $p\approx 2.3575$

これがコサインとベータです（）： $p=2.3575$

それらは同じではありませんが、形はかなり似ています。

— Glen_b-モニカの復活
ソース

感謝したいだけです。正確に一致させることは不可能ですが、近似によって非常に接近できることを学ぶのは興味深いことです。

— Tim

の値は驚くべきことではありません。これは、コサインに対する3次のテイラー級数近似が示唆しているです。

3.38 \dots

$3.38\ldots$

a = π^{2} / 4 + 1 = 3.46 \dots

$a=\pi^2/4+1=3.46\ldots$

— whuber