カイ二乗確率変数の二乗の合計の分布はどのようになっていますか？

次の方程式の分布はどうなりますか：

y = a^{2} + 2 a d + d^{2}

$y = a^2 + 2ad + d^2$

ここでとは、自由度を持つ独立した非中心カイ二乗確率変数です。 $a$ $d$ $2 \textbf{M}$

OBS：RVの生成の両方と持っていると、のは言わせ。 $a$ $d$ $\mu = 0$ $\sigma^2 \neq 1$ $\sigma^2 = c$

distributions chi-squared pdf

— フェリペアウグストデフィゲイレド
ソース

1.とはどのように関連していますか？2.カイ二乗確率変数はすでに平均> 0を持っています。なぜそれを明示的に述べる必要があるのですか？（または、中央以外のカイ二乗を参照しようとしていますか？）

a

$a$

d

$d$

— Glen_b-モニカを復活させる'12

質問にさらに情報を追加しました。それらは、非標準の円対称複素ガウス確率変数によって生成されたため、非中心カイ二乗rvです。

— フェリペアウグストデフィゲイレド2016

2Mは2つのそれぞれの自由度ですか？

— Alecos Papadopoulos 2016

フェリペ、あなたの質問であなたはとは "have "と述べていますが、あなたの最新のコメントで彼らはこのプロパティを持っていないと述べています。どっち？

a

$a$

d

$d$

μ = 0

$\mu=0$

— whuber

説明していただきありがとうございますが、それでも意味がわかりません。「とは独立した非中心カイ二乗確率変数です」と書くと非中心カイ二乗変数が通常発生する方法であるため、ゼロ以外の平均値を持つ正規確率変数の二乗を合計しているように聞こえます。しかし、後で「あなたの書いたrvはと両方を生成持っている」と書いているので、中央のカイ2乗変数で作業していることがわかります。これらは、@ Glen_bによる最初のコメントを促した矛盾です。どのと明示的に示してもらえますか

a

$a$

d

$d$

a

$a$

d

$d$

μ = 0

$\mu=0$

a

$a$

d

$d$ ？

— whuber

回答:

場合独立しており、その後、有するであろう分布。以来、非負である、のCDFに注目することによって求めることができるしたがって、 $a, d\sim\chi^2_{2M}$ $X=a+d$ $\chi^2_{4M}$ $X$ $Y=a^2+2ad+d^2=(a+d)^2=X^2$

F_{Y} (y) = P (Y \leq y) = P (X^{2} \leq y) = P (X \leq \sqrt{y}) = F_{X} (\sqrt{y}) .

$F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(X^2\leq y)=P(X\leq \sqrt{y})=F_X(\sqrt{y}).$

f_{Y} (y) = \frac{1}{2 \sqrt{y}} f_{X} (\sqrt{y}) = \frac{1}{2^{2 M + 1} Γ (2 M)} y^{M - 1} e^{- \sqrt{y} / 2} .

$f_Y(y)=\frac{1}{2\sqrt{y}}f_X(\sqrt{y})=\frac{1}{2^{2M+1}\Gamma(2M)}y^{M-1}e^{-\sqrt{y}/2}.$

とが相関している場合状況はさらに複雑になります。多変量カイ2乗の定義とその合計の分布については、たとえば、相関付き2乗ランダム変数の合計の NH Gordon＆PF Ramigの累積分布関数（1983）を参照してください。 $a$ $d$

場合、非中央カイ2乗を扱っているため、上記は無効になります。この投稿はいくつかの洞察を提供するかもしれません。 $\mu\neq 2M$

編集：新しい情報に基づいて、とは通常のrvと非単位分散を合計することによって形成されているようです。、次に場合を思い出してください。現在は、両方にでスケーリングされたカイ2乗分布、つまり分布があります。この場合、は配布されます。その結果、場合、 $a$ $d$ $Z\sim N(0, 1)$ $\sqrt{c}Z\sim N(0, c)$

a = c \sum_{i = 1}^{2 M} Z_{i}^{2} = d,

$a=c\sum_{i=1}^{2M}Z_i^2=d,$

a, d

$a,d$

c

$c$

Γ (M, 2 c)

$\Gamma(M, 2c)$

X = a + d

$X=a+d$

Γ (2 M, 2 c)

$\Gamma(2M, 2c)$

Y = X^{2}

$Y=X^2$

f_{Y} (y) = \frac{1}{2 (2 c)^{2 M} Γ (2 M)} y^{M - 1} e^{- \sqrt{y} / 2 c} .

$f_Y(y)=\frac{1}{2(2c)^{2M}\Gamma(2M)}y^{M-1}e^{-\sqrt{y}/2c}.$

— フランシス
ソース

ムーはどうやって入るの？それは、カイ二乗変数の1つの平均であると想定されていますか？私はそれが問題とは何の関係もないと思います。

— Michael R. Chernick 2016

@MichaelChernick：おそらく

意味

は非中心カイ二乗である可能性がありますか？

a, d

$a, d$

— Francis

私はあなたがその仮定をすることができると思いますが、OPはいかなる接続も行いません。私はあなたが正しいアプローチをとったと思います、非中央はこの問題に入ることができませんでした。Xは、ここではカイ2乗の2乗です。ここで使用した独立の場合、このディストリビューションは何と呼ばれますか？

— Michael R. Chernick

@MichaelChernickディストリビューションに関連付けられている特別な名前があるかどうかはわかりません。多分「chi-tesseracted」？

— フランシス

と

は非中心カイ2乗です。

a

$a$

d

$d$

— フェリペアウグスト

$X = a+b$ $k_x = k_a+k_b$ $\lambda_x = \lambda_a+\lambda_b$

$Y =X^2$

F_{Y} (y) = P (Y \leq y) = P (X^{2} \leq y) = P (X \leq \sqrt{y}) = F_{X} (\sqrt{y})

$F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(X^2\leq y)=P(X\leq \sqrt{y})=F_X(\sqrt{y})$

そしてどこに

F_{X} (x) = 1 - Q_{k_{x} / 2} (\sqrt{λ_{x}}, \sqrt{x})

$F_X(x)=1 - Q_{k_x/2} \left( \sqrt{\lambda_x}, \sqrt{x} \right)$

そう

F_{Y} (y) = 1 - Q_{k_{x} / 2} (\sqrt{λ_{x}}, y^{1 / 4})

$F_Y(y)=1 - Q_{k_x/2} \left( \sqrt{\lambda_x}, y^{1/4} \right)$

$Q$

上記は、それぞれが単一の分散であるが平均が異なる独立した二乗法線の合計として形成される非中心カイ二乗に適用されます。

質問の編集への追記

$N(0,c)$ $Gamma (1/2,2c)$

$a \sim Gamma (M, 2c)$ $b \sim Gamma (M, 2c)$ $X = a+b \sim Gamma(2M, 2c)$

$Y = X^2$

— アレコスパパドプロス
ソース

@FelipeAugustodeFigueiredo申し訳ありませんが、複雑なrvについてはよく知りません。私の答えは、非中心カイ2乗から始めるという事実を前提にしています。

— Alecos Papadopoulos 2016

μ = 0

$\mu = 0$

σ = c I

$\sigma = cI$

a

$a$

d

$d$

μ = 0

$\mu = 0$

σ \neq 1

$\sigma \neq 1$

c

$c$

次の質問を教えてください：stats.stackexchange.com/questions/253764/…。任意のヒントをいただければ幸いです。ありがとう！

— フェリペアウグスト

@FelipeAugustodeFigueiredo私はその質問に対して何か提供できるものがないと思います。

— Alecos Papadopoulos 2016