非心カイ二乗確率変数の合計

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私は、確率変数の分布を見つける必要がここで、と全 S個の独立しています。の関数を生成するすべてのモーメントの積を最初に見つけ、次に変換しての分布を取得することが可能であることを知っています。しかし、には一般的な形式があるのだろうか

Y = \sum_{i = 1}^{n} (X_{i})^{2}

$Y=\sum_{i=1}^{n}(X_i)^2$

X_{i} \sim N (μ_{i}, σ_{i}^{2})

$X_i\sim{\cal{N}}(\mu_i,\sigma^2_i)$

X_{i}

$X_i$

X_{i}

$X_i$

Y

$Y$

Y

$Y$ ガウスの場合のように：独立したガウスの合計がまだガウスであることがわかっているため、合計の平均と分散の合計を知るだけで済みます。

どのようにすべてについて？この状態は一般的な解決策になりますか？ $\sigma^2_i=\sigma^2$

distributions chi-squared random-variable saddlepoint-approximation

— 落とし穴
ソース

1

下の最初の段落を見てみると、ここで、はっきりと最終状態がでて非心カイ二乗（格差を拡大縮小得

（スケールファクタを使用して、フロントを取る）とメイク

における

）。あなたは線形結合などのルックスで開始し、より一般的な形式は係数で、スケール平均加重は、

ではなく、スケールの正方形の平野和...と私はそれが一般的に必要な分布を持っていないと信じています。

σ^{2}

$\sigma^2$

σ_{i} = 1

$\sigma_i=1$

\sum_{i = 1}^{k} (X_{i} / σ_{i})^{2}

$\sum_{i=1}^k (X_i/\sigma_i)^2$

σ_{i}^{2}

$\sigma^2_i$

— Glen_b -Reinstate Monica

必要に応じて、特定のケースでは数値畳み込みまたはシミュレーションを実行できる場合があります。

— -Glen_b-モニカーの復活2013

これは、「対数カイ二乗の重み付き和」分布によって一般化されます。私のRパッケージsadistsは、

近似した 'dpqr'関数を提供します。cf github.com/shabbychef/sadists

Y

$Y$

— shabbychef

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Glen_bがコメントで指摘したように、分散がすべて同じである場合、スケーリングされた非心カイ二乗になります。

ない場合は、の概念がある一般カイ二乗分布は、すなわちのためにと固定しました。このケースでは、対角の特殊なケース持っ（）、および。 $x^T A x$ $x \sim N(\mu, \Sigma)$ $A$ $\Sigma$ $\Sigma_{ii} = \sigma_i^2$ $A = I$

このディストリビューションを使用したコンピューティングに関する作業がいくつかありました。

あなたはまた、独立した非心カイ二乗変数の線形結合としてそれを書くことができる、その場合には： $Y = \sum_{i=1}^n \sigma_i^2 \left( \frac{X_i^2}{\sigma_i^2} \right)$

Bausch（2013）は、中心カイ2乗の線形結合に対して、より計算効率の高いアルゴリズムを提供します。彼の仕事は非中心カイ二乗に拡張可能であるかもしれません、そしてあなたは関連する仕事セクションでいくつかの興味深いポインターを見つけるかもしれません。

— ダガル
ソース

2

近似法の比較はDuchesne et al。に記載されています。2010.計算統計とデータ分析、54、858〜862。著者は、実装とともにRパッケージCompQuadFormを保守します。

— カラカル

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これは、自由度nのカイ2乗になります。

— アーメド
ソース

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μ_{i}

$\mu_i$