PDFの分布のファミリーは

与えられた（比例定数まで）PDFで分布の家族を考えてみそれはどのように呼ばれますか？名前がない場合、どのように呼びますか？

p (x) \sim \frac{1}{(1 + α x^{2})^{1 / α}} .

$p(x)\sim \frac{1}{(1+\alpha x^2)^{1/\alpha}}.$

それは家族に非常に似ています -distributionsとPDF比例する $t$

p (x) \sim \frac{1}{(1 + \frac{1}{ν} x^{2})^{(ν + 1) / 2}} .

$p(x)\sim \frac{1}{(1+\frac{1}{\nu} x^2)^{(\nu+1)/2}}.$

とき、我々が持っている -distributionと1 DF、別名コーシー分布を。ときまたは、我々はガウス分布を得ます。 $\alpha=\nu=1$ $t$ $\alpha\to 0$ $\nu\to\infty$

この分布のファミリは、Yang et al。、Heavy-Tailed Symmetric Stochastic Neighbor Embedding、NIPS 2009に記載されていますが、それらを参照するために名前を使用していません。

— アメーバ
ソース

mathworks.com/help/stats/t-location-scale-distribution.html。これは、対応する値をvとscaleに設定することにより、スケーリングされたt分布の形式と言えます。

— Cagdas Ozgenc

@CagdasOzgenc（+1）に感謝します。あなたが正しいです。Glen_bはこれについて回答で詳しく説明しました。

— アメーバ2018

あなたがそれを知らない場合、をmgcv::gam使用するときの応答として、scaled-Tの指定を許可しgam( family= "scat", ... )ます。

— usεr11852

$t$ $t$ $t$

$\nu = \frac{2}{\alpha}-1$ $\sigma= \frac{\sqrt{2-\alpha}}{\alpha}$

$Y=X/\sigma$ $t$ $\nu$

これが私の推論がどのように進んだかです：

f_{Y} (y) = c \cdot \frac{1}{(1 + \frac{y^{2}}{ν})^{(ν + 1) / 2}}

$f_Y(y)= c\cdot \frac{1}{(1+\frac{y^2}{\nu})^{(\nu+1)/2}}$

t

$t$

$X/\sigma=Y$

f_{X} (x) = \frac{1}{σ} f_{Y} (\frac{x}{σ}) = \frac{c}{σ} \cdot \frac{1}{(1 + \frac{x^{2}}{σ^{2} ν})^{(ν + 1) / 2}}

$f_X(x) = \frac{1}{\sigma}f_Y\Big(\frac{x}{\sigma}\Big) = \frac{c}{\sigma}\cdot \frac{1}{(1+\frac{x^2}{\sigma^2\nu})^{(\nu+1)/2}}$

t

$t$

$\nu$ $\sigma$

$\alpha x^2$ $\nu$ $t$ $t$

[最後の注記：スケールファミリの形式がことが明らかでない場合 $f_X(x) = \frac{1}{\sigma}f_Y\Big(\frac{x}{\sigma}\Big)$ $F_X(x) = F_Y\Big(\frac{x}{\sigma}\Big)$ $X/\sigma\leq t$ $Y\leq t$

— Glen_b-モニカの復活
ソース

α \geq 2

$\alpha\ge 2$

α = 2

$\alpha=2$

k / | x |

$k/|x|$

v a r = σ^{2} \frac{v}{v - 2}

$var=\sigma^2 \frac{v}{v-2}$