とがPDFでiidである場合の分布

私は次の問題に取り組んでいます：

LET及び一般的な密度を有する独立したランダム変数である。してみましょうと。の結合密度を求め、したがって確率密度関数を求めます。 $X$ $Y$ $f(x)=\alpha\beta^{-\alpha}x^{\alpha-1}\mathbf1_{0<x<\beta}$ $\alpha\geqslant1$ $U=\min(X,Y)$ $V=\max(X,Y)$ $(U,V)$ $U+V$

$U+V=X+Y$ 、私は単にのPDFファイルを見つけることができます $X+Y$ のPDFものを見るために $U+V$ なければなりません。

のpdf $T=X+Y$ が

\begin{matrix} (1) & f_{T} (t) = \int f (t - y) f (y) d y = α^{2} β^{- 2 α} \int_{max (t - β, 0)}^{min (t, β)} (y (t - y))^{α - 1} d y 1_{0 < t < 2 β} \end{matrix}

$f_T(t)=\int f(t-y)f(y)\,\mathrm{d}y=\alpha^2\beta^{-2\alpha}\int_{\max(t-\beta,0)}^{\min(t,\beta)}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y\,\mathbf1_{0<t<2\beta}\tag{1}$

ただし、その積分を単純化できるかどうかはわかりません。

実際の質問に戻ってくるの関節PDF $(U,V)$ によって与えられます。

f_{U, V} (u, v) = 2 f (u) f (v) 1_{0 < u < v < β} = 2 α^{2} β^{- 2 α} (u v)^{α - 1} 1_{0 < u < v < β}

$f_{U,V}(u,v)=2f(u)f(v)\mathbf1_{0<u<v<\beta}=2\alpha^2\beta^{-2\alpha}(uv)^{\alpha-1}\mathbf1_{0<u<v<\beta}$

変数 $(U,V)\to(W,Z)$ ました $W=U+V$ および $Z=U$ です。ヤコビアンの絶対値は1です。また、 $0<u<v<\beta\implies 0<z<\frac{w}{2}<\beta$ です。したがって、限界pdf $W$ は

\begin{matrix} (2) & f_{W} (w) = 2 α^{2} β^{- 2 α} \int_{0}^{w / 2} (z (w - z))^{α - 1} d z 1_{0 < w < 2 β} \end{matrix}

$f_W(w)=2\alpha^2\beta^{-2\alpha}\int_0^{w/2}(z(w-z))^{\alpha-1}\,\mathrm{dz}\,\mathbf1_{0<w<2\beta}\tag{2}$

確率変数の適切なサポートで、いくつかのエラーを犯した可能性があります。また、積分が基本関数の観点から解を持たない可能性もあります。いずれにしても、積分を進めることができませんでした。したがって、がと同じpdf であることを確認することさえできませんでした。と分布が異なるようです。そして、好奇心から、の分布には名前がありますか（その場合、そのような2つの確率変数のたたみ込みを検索したでしょう）。 $W=U+V$ $T=X+Y$ $W$ $T$ $X$

編集。

手で取得した最後の積分を続行

\int_{0}^{w / 2} (z (w - z))^{α - 1} d z = w^{2 α - 1} \int_{0}^{1 / 2} t^{α - 1} (1 - t)^{α - 1} d t = w^{2 α - 1} I_{1 / 2} (α, α) B (α, α)

$\int_0^{w/2}(z(w-z))^{\alpha-1}\,\mathrm{dz}=w^{2\alpha-1}\int_0^{1/2}t^{\alpha-1}(1-t)^{\alpha-1}\,\mathrm{dt}=w^{2\alpha-1}I_{1/2}(\alpha,\alpha)B(\alpha,\alpha)$ ここで、は正則化された不完全ベータ関数です。プロパティ、を取得します。最後に、

I_{x}

$I_{x}$

I_{x} (a, b) = 1 - I_{1 - x} (b, a)

$I_x(a,b)=1-I_{1-x}(b,a)$

I_{1 / 2} (α, α) = \frac{1}{2}

$I_{1/2}(\alpha,\alpha)=\frac{1}{2}$

\int_{0}^{w / 2} (z (w - z))^{α - 1} d z = \frac{1}{2} w^{2 α - 1} B (α, α)

$\int_0^{w/2}(z(w-z))^{\alpha-1}\,\mathrm{dz}=\frac{1}{2}w^{2\alpha-1}B(\alpha,\alpha)$

これは、

f_{W} (w) = α^{2} β^{- 2 α} B (α, α) w^{2 α - 1} 1_{0 < w < 2 β}

$f_W(w)=\alpha^2\beta^{-2\alpha}B(\alpha,\alpha)w^{2\alpha-1}\mathbf1_{0<w<2\beta}$

これがの特定の範囲内の密度ではないことは容易にわかります。だから、どこかで大きな間違いをしたような気がします。Mathematicaで計算を確認しましたが、彼らは同意しているようです。 $w$

— 頑固な原子
ソース

@ Xi'anそして、独立したベータ変量の合計はおそらく閉じた形のpdfを持っていませんか？

— StubbornAtom

@ Xi'anそれで、特別な関数に関して閉じた形を持っているかどうかに関係なく、その積分で私の答えを終わらせても問題はないと思いますか？

— StubbornAtom

stats.stackexchange.com/questions/41467（場合）の一般化として、この質問は、そのスレッドで説明されているさまざまな手法の1つ以上を使用して解決できる可能性があります。

α = 1

$\alpha=1$

— whuber

私は誤ってと言いましたが、実際にはでが有効な密度で十分です。これは、べき関数分布と呼ばれることもあります。ためそれがベータ密度であり、そしてため均一な密度です。

α > 1

$\alpha>1$

α > 0

$\alpha>0$

f

$f$

β = 1

$\beta=1$

α = 1

$\alpha=1$

— StubbornAtom

以降ます（）とrhsの2番目の積分の変数変更によって同様に、

\begin{aligned} \int_{max (t - β, 0)}^{min (t, β)} (y (t - y))^{α - 1} d y 1_{0 < t < 2 β} & = {\begin{cases} \int_{0}^{t} (y (t - y))^{α - 1} d y & when 0 \leq t \leq β \\ \int_{t - β}^{β} (y (t - y))^{α - 1} d y & when β \leq t \leq 2 β \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} \int_{\max(t-\beta,0)}^{\min(t,\beta)}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y\,\mathbf1_{0<t<2\beta}&=\begin{cases} \int_{0}^{t}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y&\text{when }0\le t\le \beta\\ \int_{t-\beta}^{\beta}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y&\text{when }\beta\le t\le 2\beta\\ \end{cases}\\ \end{align}$

t < β

$t<\beta$

\int_{max (t - β, 0)}^{min (t, β)} (y (t - y))^{α - 1} d y = \int_{0}^{t / 2} (y (t - y))^{α - 1} d y + \int_{t / 2}^{t} (y (t - y))^{α - 1} d y

$\int_{\max(t-\beta,0)}^{\min(t,\beta)}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y= \int_{0}^{t/2}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y+\int_{t/2}^{t}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y$

z = t - y

$z=t-y$

\int_{max (t - β, 0)}^{min (t, β)} (y (t - y))^{α - 1} d y = 2 \int_{0}^{t / 2} (y (t - y))^{α - 1} d y

$\int_{\max(t-\beta,0)}^{\min(t,\beta)}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y= 2\int_{0}^{t/2}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y$

t > β

$t>\beta$ 、再びrhsの2番目の積分で変数変更します。ただし、この2番目のケースの密度の同じ関数式、つまりを復元できません

\begin{aligned} \int_{t - β}^{β} (y (t - y))^{α - 1} d y & = \int_{t - β}^{t / 2} (y (t - y))^{α - 1} d y + \int_{t / 2}^{β} (y (t - y))^{α - 1} d y \\ = 2 \int_{t / 2}^{β} (y (t - y))^{α - 1} d y \end{aligned}

$\begin{align*} \int_{t-\beta}^{\beta}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y&= \int_{t-\beta}^{t/2}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y+\int_{t/2}^{\beta}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y\\ &=2\int_{t/2}^{\beta}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y \end{align*}$

z = t - y

$z=t-y$

2 \int_{0}^{w / 2} (z (w - z))^{α - 1} d z

$2\int_{0}^{w/2}(z(w-z))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}z$

さて、質問で指摘したように、スケールの変更によるこれは、対象の分布の密度がであることを意味します、で再スケーリングされたベータ分布に変換され、密度

2 \int_{0}^{w / 2} (z (w - z))^{α - 1} d z \propto w^{2 (α - 1) + 1} = w^{2 α - 1}

$2\int_{0}^{w/2}(z(w-z))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}z \propto w^{2(\alpha-1)+1}=w^{2\alpha-1}$

f (w) \propto w^{2 α - 1} 1_{0 < w < 2 β}

$f(w)\propto w^{2\alpha-1} \mathbf1_{0<w<2\beta}$

B (2 α, 1)

${\cal B}(2\alpha,1)$

(0, 2 β)

$(0,2\beta)$

f (w) = {2 β}^{- 2 α} \frac{Γ (2 α + 1)}{Γ (2 α)} w^{2 α - 1} 1_{0 < w < 2 β} = 2 α {2 β}^{- 2 α} w^{2 α - 1} 1_{0 < w < 2 β}

$f(w) = \{2\beta\}^{-2\alpha}\dfrac{\Gamma(2\alpha+1)}{\Gamma(2\alpha)}w^{2\alpha-1} \mathbf1_{0<w<2\beta}=2\alpha\{2\beta\}^{-2\alpha}w^{2\alpha-1} \mathbf1_{0<w<2\beta}$

ユニフォームはベータ版であるため、これはW. Huberからの信じられないほど詳細な回答を考えると矛盾します。2つの制服の合計はベータ確率変数ではなく、代わりに「テント」密度のrvです。 ${\cal B}(1,1)$ ${\cal B}(2,1)$

余談：より一般的には、ベータ変量の合計は別のベータ変量ではありません。「説明」は、ベータをそれらの合計で正規化された2つのガンマとして見る場合、簡単です。2つのベータを追加すると、分母に異なる合計が表示されます。

したがって、問題は密度の導出にあり：変数の変更はあり、インジケーターの制約はしたがって、結論として、つまり（1）であり、提案された式（2）ではありません。 $W=U+V$

(U, V) \sim 2 α β^{- 2} [u v]^{α - 1} I_{0 < u < v < β}

$(U,V) \sim 2\alpha \beta^{-2}[uv]^{\alpha-1}\,\mathbb{I}_{0<u<v<\beta}$

(Z, W) = (U, U + V)

$(Z,W)=(U,U+V)$

(Z, W) \sim 2 α β^{- 2} [z (w - z)]^{α - 1} I_{0 < z < w - z < β}

$(Z,W) \sim 2\alpha \beta^{-2}[z(w-z)]^{\alpha-1}\,\mathbb{I}_{0<z<w-z<\beta}$

0 < z 2 z < w z < β z > w - β 0 < w and w < 2 β

$0<z \quad 2z<w \quad z<\beta \quad z>w-\beta \quad 0<w \quad\text{and}\quad w<2\beta$

W \sim 2 α^{2} β^{- 2 α} \int_{max {0, w - β}}^{min {β, w / 2}} [z (w - z)]^{α - 1} d z I_{0 < w < 2 β}

$W\sim 2\alpha^2 \beta^{-2\alpha}\int_{\max\{0,w-\beta\}}^{\min\{\beta,w/2\}}[z(w-z)]^{\alpha-1}\,\text{d}z\,\mathbb{I}_{0<w<2\beta}$

— 西安
ソース

それが（1）に同意するかどうかを私が尋ねていたものでした。とにも欠けている定数を追加する必要があるでしょう。ありがとう、私がそれらすべての奇妙な結果を得ていたのも不思議ではありません。

(Z, W)

$(Z,W)$

(U, V)

$(U,V)$

— StubbornAtom