指数の積の線形結合の合計は指数です

この問題は私の研究で発生しましたが平均 iid指数分布（ED）であり、が負でない数であると仮定し。それが真実であることこれは、両側の期待値がに等しいため、健全性チェックに合格します。とすると、左側は指数関数的なになります。それ以外は、EDの製品の処理方法がわからないため、この問題への対処方法がわかりません。 $V_i \sim \text{ED}$ $1$ $\lambda$

\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{λ^{k} e^{- λ} V_{0} \dots V_{k}}{k!} \sim ED ?

$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k e^{-\lambda}V_{0} \cdots V_k}{k!} \sim \text{ED}?$

1

$1$

λ = 0

$\lambda = 0$

V_{0}

$V_0$

— アレックス
ソース

これが真の声明であることをどのように保証しますか？

— Zhanxiong

誰もが証拠を提供する（またはそれのfalseの場合、それを反証する）ことができれば、私は求めています理由である、私は完全に確認してください、それは本当だ場合じゃない@Zhanxiong

— アレックス

— 了解しました。

私の悪い、私は質問を編集しました。

— Alex

ある EXP RV車のための同じ速度/平均パラメータ？

λ

$\lambda$

— AdamO

完全な答えではなく、申し訳ありませんが、いくつかのアイデア（コメントを待ち望んでいる）あなたが持っているのは、 iid確率変数の積であることに注意してください。ここで、はパラメーターをもつポアソン分布を持つ確率変数（rv）です。これは、別の「健全性チェック」、シミュレーション（レート1の指数を使用）に使用できます。 $K+1$ $K$ $\lambda$

set.seed(7*11*13)
N <- 1000000

prods <- rep(0, N)
ks <- rpois(N, 1)+1

for (i in 1:N) {
    k  <-  ks[i]
    prods[i]  <-  prod( rexp(k, 1))
}

qqplot( qexp(ppoints(N)), prods)

結果qqplot（ここには表示されていません）は直線から離れているため、これはレート1の指数ではありません。平均は正しく、分散は大きく、指数の場合よりもはるかに長い右裾があります。理論的に何ができるでしょうか？Mellin変換https://en.wikipedia.org/wiki/Mellin_transformは、独立したランダム変数の積に適応されます。レート1の指数のみを計算しますのMellin変換はしたがって、 iid指数の積のMellin変換は、 $V_0$

M_{1} (s) = E V_{0}^{s} = \int_{0}^{\infty} x^{s} e^{- x} d x = Γ (s + 1)

$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} M_1(s) = \E V_0^s = \int_0^\infty x^s e^{-x}\; dx = \Gamma(s+1)$

k + 1

$k+1$

M_{k + 1} (s) = Γ (s + 1)^{k + 1}

$M_{k+1}(s) = \Gamma(s+1)^{k+1}$

K

$K$ パラメータ持つポアソン分布を持ちます。これは、乱数因子のランダム積のMellin変換であり、が、この変換の逆を見つけることができません。ただし、がMellin変換を含む非負の確率変数の場合、を定義すると、したがって、のMellin変換は、対数モーメント生成関数です

λ

$\lambda$

K + 1

$K+1$

M (s) = E M_{K + 1} (s) = E Γ (s + 1)^{K + 1} = Γ (s + 1) e^{- λ} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{λ^{k}}{k!} Γ (s + 1)^{k} = e^{- λ} Γ (s + 1) e^{λ Γ (s + 1)}

$M(s) = \E M_{K+1}(s) = \E \Gamma(s+1)^{K+1}= \Gamma(s+1)e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k}{k!}\Gamma(s+1)^k=e^{-\lambda}\Gamma(s+1) e^{\lambda \Gamma(s+1)}$

X

$X$

M_{X} (t)

$M_X(t)$

Y = \log X

$Y=\log X$

K_{Y} (t) = E e^{t Y} = E e^{t \log X} = E e^{\log (X^{t})} = E X^{t} = M_{X} (y)

$K_Y(t)=\E e^{tY} = \E e^{t\log X}=\E e^{\log (X^t)}=\E X^t =M_X(y)$

X

$X$

Y

$Y$ 。したがって、サドルポイント近似法での分布を近似できることを使用して、サドルポイント近似はどのように機能しますか？このサイトを検索します。

X

$X$

— kjetil b halvorsen
ソース

（+1）2つの指数の積であっても、閉形式の密度はありません。

— 西安

SEに投稿があり、3つの指数関数の積にはモーメントや何かがこれらの線に沿っていないことが示されました

— Aksakal

kjetil、ありがとう。私もその答えはノーだと確信していましたが、それが理由のかなり良い理由です。

— Alex

@Aksakal：独立指数の積はすべてのモーメントが有限です。

k

$k$

— 西安

...そして、製品はゼロに収束します。

V_{0} \dots V_{k}

$V_0\cdots V_k$

— 西安