回答:
導入コースでは、mgfはやややる気がないように見えるかもしれません。だから、いくつかの使用例。まず、離散確率問題では、確率生成関数を使用することがよくありますが、これはmgfの異なるパッケージにすぎません。モーメント生成関数と確率生成関数の違いは何ですか？を参照してください。。PGFは、それ以外の場合は解決するのは難しいかもしれないいくつかの確率の問題を解決するために使用することができ、このサイト上の最近の例では、参照の二つの連続ヘッドに必要な試行回数のPMF か の合計でガンマ分布をポアソン分布であること。まだ入門コースで使用することができ、いくつかのそれほど明白ではないアプリケーションは、で与えられている 変数の逆数の期待、 の期待値を際ベータ分布に従う と 独立したRV車のために、は意味しますか？。
別の種類の使用法は、確率分布の近似を作成することです。1つの例は鞍点近似です。これは、キュムラント生成関数と呼ばれるmgfの自然対数を開始点とします。鞍点近似はどのように機能するかを参照してください。 そしていくつかの例については、参照のポアソン確率変数の加重和のためにバウンド し、 ガンマ確率変数のジェネリック合計
Mgfは、限界定理を証明するために使用することもできます。たとえば、二項分布のポアソン限界です。ポアソン分布が二項分布の制限ケースである理由を直感的に理解します mgfを使用して証明できます。
MGFの保険数理上の使用のいくつかの例（ソリューションと運動セット）ここで見つけることができます： https://faculty.math.illinois.edu/~hildebr/370/370mgfproblemssol.pdfは 「積率母関数の数理計算上の」でインターネット検索を提供します同様の例がたくさん。アクチュアリーは、別の方法では解決が難しいいくつかの問題（プレミアム計算のインスタンスで発生する）をmgfで解決しているようです。セクション3.5の21ページと保険数理リスク理論に関する本の 1つの例。そのようなアプリケーションの（推定される）mgfのソースの1つは、経験的なmgfである可能性があります（奇妙なことに、ここには経験的なモーメント生成関数に関する投稿が1つもありません）。