たとえば、どのようにしてガンマ分布がゼロ近くに発散し（スケールと形状パラメーターの適切なセット、たとえば、シェイプとスケール）、面積が1に等しいか？= $=0.1$$=10$

私が理解しているように、確率密度分布の面積は常に1に等しくなければなりません。ゼロで発散するが他の場所ではゼロであるディラックデルタ分布を取る場合、面積は1になります。

どういうわけか、発散するガンマ分布の面積を取得する場合、それをディラックデルタ分布の面積として表すことができますで重みがゼロではないので、それは1より大きくなるためです。$x\neq0$

誰かが私の推論がうまくいかないところを私に説明できますか？

どういうわけか、発散するガンマ分布の領域を取得する場合、それをディラックデルタ分布の領域として表すことができます、で非ゼロの重みを持つため、それは1よりも大きくなるためです。$x \neq 0$

これがあなたの推論が間違っているところです：無限である関数をデルタ分布と何か他のものとして自動的に表すことはできません。結局のところ、これをで実行できたとしたら、でも実行できなかったと言うのは誰ですか？または？または他の係数？これらの分布はゼロであり、では無限であると言っても同じです。それらと同じ推論を使用しないのはなぜですか？δ （X ）2 δ （X ）10 - 10 δ （X ）X ≠ 0 、X = $x = 0$$\delta(x)$$2\delta(x)$$10^{-10}\delta(x)$$x\neq 0$$x = 0$

実際には、分布（数学の意味での分布理論）は、関数の関数のようなものと考える必要があります。関数を入力して、数値を取得します。特にデルタ分布の場合、関数すると、数値が得られます。分布は通常の数対数関数ではありません。それらは、そのような「通常の」機能よりも複雑で、より機能的です。f （0 $f$$f(0)$

関数を数値に変換するというこの考え方は、確率の扱いに慣れている人なら誰でもよく知っています。たとえば、一連の分布モーメント（平均、標準偏差、歪度、尖度など）はすべて、関数（確率分布）を数値（対応するモーメント）に変換するルールと考えることができます。たとえば、平均値/期待値を考えます。このルールは、確率分布を数値に または分散のルールがを数値に入れます。ここで、 E P [ X ] E P [ X ] = ∫ P （X $P(x)$$E_P[x]$P （X ）σ 2 P σ 2 P [ X ] = ∫ P （X

$$E_P[x] = \int P(x)\,x\ \mathrm{d}x$$ $P(x)$$\sigma_P^2$ $$\sigma_P^2[x] = \int P(x)\,(x - E_P[x])^2\ \mathrm{d}x$$ 私の表記はここでは少し奇妙ですが、うまくいけば、あなたは考えを理解するでしょう。¹

これらのルールに共通していることに気づくかもしれません。それらすべてにおいて、関数から数値への道は、関数と他の重み関数の積を積分することです。これは、数学的分布を表す非常に一般的な方法です。だから当然のことですが、このようなデルタ分布のアクションを表すことができるいくつかの重み関数はありますか？ 、簡単にすることを確立することができる場合、そのような機能があり、それはに等しくなければならない毎に。しかし、値を取得できませんF → ∫ δ （X $\delta(x)$0 、X ≠ 0 δ （0 ）δ （0

$$f\to \int \delta(x)\, f(x)\ \mathrm{d}x$$ $0$$x\neq 0$$\delta(0)$この方法では。どの有限数よりも大きいことを示すことができますが、統合の標準的なアイデアを使用して、この方程式を機能させるの実際の値はありません。²$\delta(0)$

その理由は、デルタ分布にはこれだけではありません： その " "は誤解を招くものです。これは、通常の関数では表現できない、デルタ分布に関する追加の情報セット全体を表しています。そして、そのため、ガンマ分布はデルタ分布よりも「多い」とは言えません。確かに、の場合、ガンマ分布の値はデルタ分布の値よりも大きくなりますが、デルタ分布に関するすべての有用な情報は、その時点でロックされ、その情報は多すぎますまた、あるディストリビューションは他のディストリビューションよりも優れていると言えるように複雑です。

$$\begin{cases}0, & x\neq 0 \\ \infty, & x = 0\end{cases}$$ $\infty$$x > 0$$x = 0$

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技術的な詳細

¹実際には、物事をひっくり返して、確率分布自体を数学的な分布と考えることができます。この意味では、確率分布は次のように、重み関数をとるルールである又は、数に、またはそれぞれ。そのように考えると、標準表記はもう少し理にかなっていますが、数学的な分布についての投稿の全体的な考え方は少し自然ではないと思います。$x$$(x - E[x])^2$$E[x]$$\sigma_x^2$

²具体的には、「積分の標準的な考え方」によって、リーマン積分とルベーグ積分について取り上げます。どちらも、1点のみが異なる2つの関数は同じ積分でなければなりません（同じ制限が与えられます）。関数があった場合、それは関数と1点のみ、つまりで異なるため、2つの関数の積分は常に同じでなければなりません。 したがって、割り当てることができる番号はありませんデルタ分布の効果を再現させる。0 、X = 0 ∫ B δ （X ）F （X ）D、X = ∫ B（0 ）、F （X ）D、X = 0 δ （0 $\delta(x)$$0$$x = 0$

$$\int_a^b \delta(x)f(x)\ \mathrm{d}x = \int_a^b (0)f(x)\ \mathrm{d}x = 0$$ $\delta(0)$

ディラックデルタは、ガンマ分布が連続密度であるのに対し、ここでは実際にはあまり役に立ちません（興味深いことです）が、ディラックは、可能な限り非連続です。

確率密度の積分は1でなければならないことは正しいです（私は正の軸でのみ定義された密度に固執します）、

$$\int_0^\infty f(x)\,dx =1.$$

ガンマの場合、密度は発散するので、不適切な積分と呼ばれるものがあります。このような場合、積分境界は、被積分関数が定義されていない点に近づくため、積分は限界として定義されます。x → $f(x)$$x\to 0$

$$\int_0^\infty f(x)\,dx := \lim_{a\to 0}\int_a^\infty f(x)\,dx,$$

この制限が存在する限り。

（ちなみに、私たちは記号に意味を与えるために表記の同じ虐待を使う「」、積分の上限として定義されているとして、再び限り、この制限が存在するので、この特定のケースでは、我々は2つの問題点を持っている- 。積分が定義されていないと、。私たちは直接積分を評価することはできませんが、我々は両方のケースでの限界で作業する必要があります）。∫ B、B → ∞ 0 $\int^\infty$$\int^b$$b\to\infty$$0$$\infty$

具体的には、ガンマ分布については、問題をある程度回避します。まず、ガンマ関数を次のように定義します。

$$\Gamma(k) := \int_0^\infty y^{k-1}e^{-y}\,dy.$$

次に、上で概説したさまざまな制限という意味で、この定義が実際に理にかなっていることを証明します。簡単にするために、ここでは固執できますが、定義を（多くの）複素数値にも拡張できます。このチェックは微積分の標準的なアプリケーションであり、素晴らしい練習です。$k>0$$k$

次に、を代わりに使用し、変数の変更によって数式を取得します。θ > $x:=\theta y$$\theta>0$

$$\Gamma(k) = \int_0^\infty \frac{x^{k-1}e^{-\frac{x}{\theta}}}{\theta^k}\,dx,$$

そこから

$$1 = \int_0^\infty \frac{x^{k-1}e^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k)\theta^k}\,dx.$$

つまり、被積分関数は1に積分するため、確率密度になります。これを形状とスケールのガンマ分布と呼びます。$k$$\theta$

今、私は本当にここでお金を渡しました。議論の要点は、上記のガンマ関数の定義が意味をなすという事実にあります。ただし、これは単純な計算であり、統計ではないため、Math.SOのお気に入りの計算の教科書とガンマ関数タグ、特にこの質問とこの質問を参照することについて、少しだけ罪があると感じます。

標準の指数密度を検討し、対プロットを検討します下の図の左側のパネル）。$f(x)=\exp(-x)\,,\:x>0$$y=f(x)$$x$

おそらく、すべての正の密度があることは不思議なことではありませんが、それでも面積はです。$x>0$$1$

今度はと交換しましょう...つまり、またはをます。これは有効な密度であり、軸に向かって漸近します（したがって、として無制限です）が、その面積は明らかに指数関数と同じです（つまり、曲線の下の面積は1である必要があります。形状、および反射は領域を維持します）。、Y 、X = EXP （- Y ）Y = - LN （X $x$$y$$x=\exp(-y)$$y = -\ln(x)$Y X → $0<x\leq 1$$y$$x\to 0$

明らかに、密度は無制限にできますが、面積は1になります。

これは、統計ではなく、微積分問題です。あなたはその引数のいくつかの値で無限大になる関数がまだ曲線の下に有限の面積を持つことができる方法を求めていますか？

有効な質問です。たとえば、ガンマ関数の代わりに双曲線をとった場合：（場合、曲線の下の領域は収束せず、無限です。x = [ 0 、∞ $y=1/x$$x=[0,\infty)$

そのため、非常に大きな数または無限の数の加重和が、有限の数に収束することは非常に奇跡的です。リーマンの積分定義を見ると、次のような合計になる可能性があるため、合計に重みが付けられます。 したがって、選択する点応じて、重みは小さい場合と大きい場合があります。0に近づくと、は大きくなりますが、は小さくなります。この競争では、勝ち、積分は収束しません。

$$\int_0^\infty 1/x dx=\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=0}^n \frac{\Delta x_i}{x_i}$$ $x_i$$\Delta x_i$$1/x_i$$\Delta x_i$$1/x_i$

ガンマ分布の場合、はガンマPDFの成長よりも速く収縮し、領域は有限になります。それがどれほど正確に1に収束するかを見るのは簡単な計算です。$\Delta x_i$

次の例を見てください。任意の有限、$N$

$$\int_0^N \frac{1}{x} dx = \log(N)-\log(0)$$

しかし、は未定義なので、積分はある意味でです（これには制限がありますが、無視してください）。だが$\log(0)$$\infty$

$$\int_0^N \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \sqrt{N} - \sqrt{0} = \sqrt{N}$$

一般的に、これは、

$$\int \frac{1}{x^p} dx = x^{1-p}$$

したがって、の場合、微積分の基本定理は積分が有限であることを示します。つまり、発散は十分遅く（は速度）、領域がまだ制限されているということです。$1-p>0$$p$

これはシリーズの収束に似ています。p検定によって、

$$\sum_0^\infty \frac{1}{x^p}$$

場合にのみ収束します。この場合、十分に高速なが必要です。ここでも、は速度であり、は転換点です。のx のp → ∞ P $p>1$$x^p \rightarrow \infty$$p$$1$

なぜこれが現実的なのでしょうか？コッホの雪片について考えてみてください。この例では、エリアがゆっくりと成長するように、スノーフレークの周囲を追加し続けます。これは、サイズが辺を持つ正三角形を作成すると、面積がのに、外周が1 になるという事実によるものです。$\frac{1}{3}$$\frac{1}{12\sqrt{3}}\sim 0.05$。面積は周囲よりも非常に小さいので（加算ではなく2つの小さな数値の乗算です！）、面積が有限のままで周囲が無限大になるように三角形を追加することを選択できます。これを行うには、三角形がゼロになる速度を選択する必要があります。おそらく今までに推測したように、速度が遅すぎて無限領域を与えて有限領域を与えるのに十分な速度に切り替わる速度があります。

全体として、微積分はすべての特異点（ゼロのような「無限遠点に行く」もの）が同じではないことを示しています。特異点の「ローカル速度」に基づいて大きな違いがあります。は、領域が有限である場合に「十分に遅い」という特異点を単純に持っています。「なぜ」特異点がこのように機能するかについて詳しく知りたい場合は、複雑な分析と、複雑な分析関数の特異点（が含まれる）の研究でさらに詳しく調べることができます。$\Gamma$$\Gamma$