この文脈で定常分布に関心を寄せる動機はさまざまですが、おそらく最も重要な側面は、分布の制限に密接に関連していることです。ほとんどの時系列プロセスでは、プロセスの定常分布と制限分布の間には密接な関係があります。非常に広い条件下で、IIDエラー項に基づく時系列プロセスには定常分布があり、指定した開始分布の制限分布としてこの定常分布に収束します。つまり、プロセスを長時間実行させると、プロセスの開始に関係なく、その分布は定常的な分布に近くなります。したがって、プロセスが長期間実行されていると信じる理由がある場合は、
あなたの質問では、任意の周辺分布を持つIIDエラー項を持つAR（）時系列プロセスの例を使用します。場合、このモデルは、再発時間均質であるマルコフ連鎖及びその定常分布はMA（それを反転することにより求めることができる）プロセス：1|α|<1∞
Xt=∑k=0∞αket−ket∼IID f.
プロセスがIIDエラー項の無限連鎖の加重和であり、加重が指数関数的に減衰していることがわかります。限界分布は、この加重和の適切な畳み込みによって誤差分布から取得できます。一般に、これはの形式に依存し、複雑な分布になる可能性があります。ただし、誤差分布の裾が大きくない場合、および減衰が遅いように場合、中心分布による近似により、限界分布は正規分布に近くなります。定理。ffα≈1
実用的なアプリケーション： AR（）時系列プロセスのほとんどのアプリケーションでは、正規誤差分布を想定しています。これは、プロセスの定常分布が：1et∼IID N(0,σ2)
Xt∼N(0,σ21−α2).
プロセスの開始分布に関係なく、この定常分布はプロセスの限界分布です。プロセスが妥当な期間実行されていると信じる理由がある場合、プロセスはこの制限的な分布に近く収束していることがわかっているため、プロセスがこの分布に従うと想定することは理にかなっています。もちろん、統計モデリングのあらゆるアプリケーションと同様に、診断プロット/テストを調べて、データが想定モデル形式を偽造していないかどうかを確認します。それにもかかわらず、この形式は、AR（）モデルが使用される幅広いクラスのケースに適合します。1
定常分布が存在しない場合：定常分布が存在しない特定の時系列プロセスがあります。これは、シリーズに一定の周期的な側面がある場合、または何らかの吸収状態（または他の非通信状態クラス）がある場合に最も一般的です。この場合、制限的な分布は存在しない可能性があります。または、制限的な分布は、複数の非通信クラスにわたって集約された限界分布である可能性がありますが、それほど有用ではありません。これは本質的に問題ではありません。単にプロセスの非定常性を正しく表す別の種類のモデルが必要であることを意味します。これはもっと複雑ですが、統計理論にはこれに対処する方法と手段があります。