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ましょ平均有する分布から独立して観察することがμ及び分散σ 2 &lt; ∞、場合N →を∞次いで、X1,...,XnX1,...,XnX_1,...,X_nμμ\muσ2&lt;∞σ2&lt;∞\sigma^2 < \inftyn→∞n→∞n \rightarrow \infty n−−√X¯n−μσ→N(0,1).nX¯n−μσ→N(0,1).\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma} \rightarrow N(0,1). なぜこれがその意味するものではない X¯n∼N(μ,σ2n)?X¯n∼N(μ,σ2n)?\bar{X}_n \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)?

10 probability  central-limit-theorem 

\newcommand{\E}{\mathbb{E}}\newcommand{\P}{\mathbb{P}}中心極限定理（CLT）は、X1,X2,…X1,X2,…X_1,X_2,\dots独立しており、E[Xi]=0E[Xi]=0\E[X_i]=0およびVar(Xi)&lt;∞Var⁡(Xi)&lt;∞\operatorname{ Var} (X_i)<\infty、合計はn \ to \ inftyとして正規分布に収束しn→∞n→∞n\to\inftyます： ∑i=1nXi→N(0,n−−√).∑i=1nXi→N(0,n). \sum_{i=1}^n X_i \to N\left(0, \sqrt{n}\right). 代わりに、X_1、X_2、\ dotsが、期待値0と有界分散のX1,X2,…X1,X2,…X_1,X_2,\dotsある定常分布\ P_ \ inftyの有限状態マルコフ連鎖を形成するP∞P∞\P_\inftyと仮定します。この場合のCLTの単純な拡張はありますか？ マルコフ連鎖のCLTで見つけた論文は、一般に、はるかに一般的なケースを扱っています。関連する一般的な結果へのポインタとそれがどのように適用されるかの説明に非常に感謝します。

10 markov-process  central-limit-theorem 

誰かがパレート分布と中心極限定理の間の関係について簡単な（素人）説明を提供できますか？私は次の声明を理解しようとしています： 「中心極限定理はすべての分布で機能するわけではありません。これは1つの卑劣な事実によるものです。サンプル平均は、基礎となる分布が存在する場合、その平均の周りにクラスター化されます。しかし、分布にどういう意味がないのですか？これはパレート分布という意味ではありません。通常の方法で計算しようとすると、無限に発散します。」

10 variance  central-limit-theorem  intuition  pareto-distribution  fat-tails 

分散を計算するときに絶対値をとるのではなく、差を二乗する理由は、通常の方法で定義された分散が、分母が二乗であり、中心極限定理で独特の役割を果たすことをどこかで読んだことがあります。 では、CLTにおける分散の役割とは正確には何でしょうか。私はこれについてこれ以上見つけることも、それを正しく理解することもできませんでした。 また、分散とは、一連の数値がどこまで分散しているかの尺度であると私たちに思わせるものを尋ねることもできます。分散と同様に他の量を定義して、それらが数値の広がりを測定していることを納得させることができます。これが起こるためには、数値の広がりが何を意味するのか、スプレッドの測定からどのような振る舞いを期待するのかなどを述べる必要があります。スプレッドの正式な定義はないため、分散を定義として扱う場合があります。ただし、何らかの理由で、分散は「最良の」広がりの尺度と見なされます。

10 variance  central-limit-theorem  dispersion 

中心極限定理-サンプルの分布が正規性に近づく古典的なバージョン-がポアソン分布またはガンマ分布に当てはまる可能性があるため、私は常に問題に取り組み、良い答えは得られていません。 P(x&lt;0)=0P(x&lt;0)=0P(x<0)=0。または、さらに言えば、∃X:X≠−∞,F(X)=0∃X:X≠−∞,F(X)=0\exists X:X \neq -\infty ,F(X)=0、 多分 ∃X:X≠∞,1−F(X)=0∃X:X≠∞,1−F(X)=0\exists X:X \neq \infty, 1-F(X)=0。 例として、サンプル数としてのガンマ分布を考える n→∞n→∞n \rightarrow \infty、 P(X¯=α)→1P(X¯=α)→1P( \bar{X} = \alpha) \rightarrow 1、 ∀α≥0∀α≥0\forall \alpha \geq 0、 いくつかのための X¯iX¯i\bar{X}_i。しかし、もしα&lt;0α&lt;0\alpha<0、 P(X¯=α)=0P(X¯=α)=0P(\bar{X}=\alpha)=0。決してそこには決して、決してありませんX¯i&lt;0X¯i&lt;0\bar{X}_i<0。これは、X¯X¯\bar{X} 次の理由から、 f(X¯)f(X¯)f(\bar{X}) 必ずである必要があります 000、 ∀X¯&lt;0∀X¯&lt;0\forall \bar{X}<0、正規分布の要件を満たしていない場合 f(y)&gt;0,∀y∈Rf(y)&gt;0,∀y∈Rf(y)>0, \forall y \in R。 誰かが私のロジックがどこに迷ったのかを理解してくれるとしたら、CLTに基づく人生や何かについてはずっと気分が良くなるでしょう。

10 mean  sample  central-limit-theorem 

ましょX1,…,Xn∼U(0,1)X1,…,Xn∼U(0,1)X_1,\dots,X_n \sim U(0,1)独立したidenticallly標準一様確率変数を分散させること。 Let Yn=∑inX2iI seek: E[Yn−−√]Let Yn=∑inXi2I seek: E[Yn]\text{Let }\quad Y_n=\sum_i^nX_i^2 \quad \quad \text{I seek: } \quad \mathbb{E}\big[\sqrt{Y_n } \big] YnYnY_nの予想は簡単です。 E[X2]E[Yn]=∫10y2y√=13=E[∑inX2i]=∑inE[X2i]=n3E[X2]=∫01y2y=13E[Yn]=E[∑inXi2]=∑inE[Xi2]=n3\begin{align} \mathbb{E}\left[X^2\right] &=\int_0^1\frac{y}{2\sqrt{y}}=\frac{1}{3}\\ \mathbb{E}\left[Y_n\right] &=\mathbb{E}\left[\sum_i^nX_i^2\right] = \sum_i^n\mathbb{E}\left[X_i^2\right]=\frac{n}{3} \end{align} 退屈な部分です。LOTUSを適用するには、YnYnY_n pdfが必要です。もちろん、2つの独立確率変数の和の確率密度関数は、それらの確率密度関数のたたみ込みです。しかし、ここにはnnn確率変数があり、たたみ込みは...複雑な式（恐ろしいしゃれが意図されたもの）につながると思います。もっと賢い方法はありますか？ 私は正しい解決策を見たいと思いますが、それが不可能であるか複雑すぎる場合は、大きなnnn漸近近似は許容できる可能性があります。ジェンセンの不平等によって、私はそれを知っています E[Yn]−−−−−√=n3−−√≥E[Yn−−√]E[Yn]=n3≥E[Yn]\sqrt{\mathbb{E}[Y_n]}=\sqrt{\frac{n}{3}}\geq\mathbb{E}\left[\sqrt{Y_n}\right] しかし、自明ではない下限も見つけられない限り、これはあまり役に立ちません。独立したRVの合計だけでなく、独立したRVの合計の平方根があるため、CLTはここでは直接適用されないことに注意してください。たぶん、ここで役立つかもしれない他の限界定理（私は無視します）があるかもしれません。

9 probability  expected-value  uniform  central-limit-theorem  mgf 

ウォルドリッジの導入計量経済学では、引用があります： エラーの正規分布を正当化する引数は通常、次のようなものですはに影響を与える多くの異なる観測されていない要因の合計であるため、中心極限定理を呼び出して、が近似正規分布であると結論付けることができます。uuuyyyuuu この引用は、線形モデルの仮定の1つに関連しています。 u∼N(μ,σ2)u∼N(μ,σ2)u \sim N(μ, σ^2) ここで、uuuは母集団モデルの誤差項です。 さて、私の知る限りでは、中心極限定理は、 Zi=(Yi¯¯¯¯¯−μ)/(σ/√n)Zi=(Yi¯−μ)/(σ/√n)Z_i=(\overline{Y_i}-μ)/(σ/√n) （ここで、Yi¯¯¯¯¯Yi¯\overline{Y_i} は、平均μμμと分散σ^ 2を持つ任意の母集団から抽出されたランダムサンプルの平均ですσ2σ2σ^2） n \ rightarrow \ inftyとして標準の標準変数に近づきn→∞n→∞n \rightarrow \inftyます。 質問： Z_iの漸近正規性ZiZiZ_iがu \ sim N（μ、σ^ 2）をどのように意味するかを理解するu∼N(μ,σ2)u∼N(μ,σ2)u \sim N(μ, σ^2)

9 self-study  linear-model  econometrics  normality-assumption  central-limit-theorem 

中心極限定理により、大きな独立確率変数の合計の確率密度関数は、正規分布になる傾向があります。したがって、多数の独立したコーシー確率変数の合計も正規であると言えますか？

9 random-variable  central-limit-theorem  cauchy 

私は、確率分布に関する直感的な理解と、確率分布のほとんどすべてのトポロジーが持っている奇妙な特性との調整にかなり苦労しています。 たとえば、混合確率変数考えます。0を中心とし、分散1、確率1のガウスを選択します。XnXnX_n、結果にnを追加します。このような確率変数のシーケンスは、分散が1で、0を中心とするガウス分布に（弱く、全体的に）収束しますが、Xnの平均は常に1であり、分散は+∞に収束します。そのため、このシーケンスが収束するとは言いたくありません。1n1n\frac{1}{n}nnnXnXnX_n111+∞+∞+\infty トポロジーについて忘れていたすべてのことを覚えるのにかなりの時間を費やしましたが、最終的に、そのような例について非常に不満な点を見つけました。シーケンスの制限は従来の分布ではありません。上記の例では、限界は奇妙な「平均1と無限分散のガウス」です。トポロジーの観点から見ると、確率分布のセットは弱点（およびTV、および私が調べた他のすべてのトポロジー）では完全ではありません。 次に、次の質問に直面します。 確率分布のアンサンブルが完了するようなトポロジは存在しますか？ いいえの場合、その不在は確率分布のアンサンブルの興味深い特性を反映していますか？それとも退屈ですか？ 注：「確率分布」についての質問をしました。これらは、PDFを持たないディラックスなどに収束する可能性があるため、閉じることができません。しかし、対策は弱いトポロジーではまだ閉じられていないので、私の質問は残っています mathoverflowにクロスポスト /mathpro/226339/topologies-for-which-the-ensemble-of-probability-measures-is-complete?noredirect=1#comment558738_226339

9 mathematical-statistics  convergence  central-limit-theorem  topologies 

t検定の場合、ほとんどのテキストによれば、母集団データは正規分布しているという仮定があります。なぜだかわかりません。t検定は、標本平均の標本分布が母集団ではなく正規分布であることのみを要求しませんか？ t検定が最終的にサンプリング分布の正規性のみを必要とする場合は、母集団は任意の分布のように見えますか？適切なサンプルサイズがある限り。それは中心極限定理が述べていることではありませんか？ （ここでは1標本または独立標本のt検定を参照しています）

9 hypothesis-testing  t-test  assumptions  normality-assumption  central-limit-theorem 

：次の設定を想定し ましょZi=min{ki,Xi},i=1,...,nZi=min{ki,Xi},i=1,...,nZ_i = \min\{k_i, X_i\}, i=1,...,n。また、Xi∼U[ai,bi],ai,bi&gt;0Xi∼U[ai,bi],ai,bi&gt;0X_i \sim U[a_i, b_i], \; a_i, b_i >0。さらに、ki=cai+(1−c)bi,0&lt;c&lt;1ki=cai+(1−c)bi,0&lt;c&lt;1k_i = ca_i + (1-c)b_i,\;\; 0 k_i) = 1- \Pr(X_i \le k_i) =1−ki−aibi−ai=1−(1−c)(bi−ai)bi−ai=c=1−ki−aibi−ai=1−(1−c)(bi−ai)bi−ai=c= 1- \frac {k_i - a_i}{b_i-a_i} = 1-\frac {(1-c)(b_i-a_i)}{b_i-a_i} =c したがって、全体として FZi(zi)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪0zi&lt;aizi−aibi−aiai≤zi&lt;ki1ki≤ziFZi(zi)={0zi&lt;aizi−aibi−aiai≤zi&lt;ki1ki≤ziF_{Z_i}(z_i) = \begin{cases} 0\qquad z_i0zi=kizi=kiz_i = k_i 総じて、それは現実を統一することを意味します。 確率変数S_n \ equiv \ sum_ {i = …

9 distributions  central-limit-theorem  censoring  minimum 

その所与の、条件競合製品。です。は限界的な歪みがあります。Poisson（）の場合、は正の定数です。N=nN=nN = nYYYχ2(2n)χ2(2n)\chi ^2(2n)NNNθθ\thetaθθ\theta 、それを示すよう、分布です。（Y − E （Y ））/ √θ→∞θ→∞\theta \rightarrow \infty (Y−E(Y))/Var(Y)−−−−−−√→N(0,1) (Y−E(Y))/Var⁡(Y)→N(0,1)\space \space (Y - E(Y))/ \sqrt{\operatorname{Var}(Y)} \rightarrow N(0,1) 誰かがこれを解決するための戦略を提案できますか？CLT（Central Limit Theorem）を使用する必要があるようですが、に関する情報を独自に取得するのは難しいようです。サンプルを取り、を生成するために導入できるrvはありますか？YYYYYY これは宿題なのでヒントをいただければ幸いです。

9 self-study  poisson-distribution  conditional-probability  convergence  central-limit-theorem 

考慮してくださいXn=⎧⎩⎨1−12kw.p. (1−2−n)/2w.p. (1−2−n)/2w.p. 2−k for k&gt;nXn={1w.p. (1−2−n)/2−1w.p. (1−2−n)/22kw.p. 2−k for k&gt;nX_n = \begin{cases} 1 & \text{w.p. } (1 - 2^{-n})/2\\ -1 & \text{w.p. } (1 - 2^{-n})/2\\ 2^k & \text{w.p. } 2^{-k} \text{ for } k > n\\ \end{cases} これには無限のモーメントがあるにもかかわらず、あることを示す必要がありn−−√(X¯n)→dN(0,1)n(X¯n)→dN(0,1)\sqrt{n}(\bar{X}_n) \overset{d}{\to} N(0,1) 私は、リービーの連続性定理を使用してこれを表示しようとしました。つまり、左側の特性関数が標準法線の特性関数に収束することを示してみました。しかし、これを示すのは不可能のようでした。 この問題に対するヒントは、各を切り捨てることでした。つまり、とし、リンデバーグ条件を使用して、。XiXiX_iYni=XiI{Xi≤n}Yni=XiI{Xi≤n}Y_{ni} = X_i I\{X_i \leq n\}n−−√Y¯n→dN(0,1)nY¯n→dN(0,1)\sqrt{n} \bar{Y}_n …

9 probability  self-study  central-limit-theorem  moments  asymptotics 

以下の移植片は、この記事から引用したものです。私はブートストラップの初心者であり、R bootパッケージを使用した線形混合モデルのパラメトリック、セミパラメトリック、ノンパラメトリックのブートストラップブートストラップを実装しようとしています。 Rコード これが私のRコードです： library(SASmixed) library(lme4) library(boot) fm1Cult &lt;- lmer(drywt ~ Inoc + Cult + (1|Block) + (1|Cult), data=Cultivation) fixef(fm1Cult) boot.fn &lt;- function(data, indices){ data &lt;- data[indices, ] mod &lt;- lmer(drywt ~ Inoc + Cult + (1|Block) + (1|Cult), data=data) fixef(mod) } set.seed(12345) Out &lt;- boot(data=Cultivation, statistic=boot.fn, R=99) Out ご質問 …

9 r  mixed-model  bootstrap  central-limit-theorem  stable-distribution  time-series  hypothesis-testing  markov-process  r  correlation  categorical-data  association-measure  meta-analysis  r  anova  confidence-interval  lm  r  bayesian  multilevel-analysis  logit  regression  logistic  least-squares  eda  regression  notation  distributions  random-variable  expected-value  distributions  markov-process  hidden-markov-model  r  variance  group-differences  microarray  r  descriptive-statistics  machine-learning  references  r  regression  r  categorical-data  random-forest  data-transformation  data-visualization  interactive-visualization  binomial  beta-distribution  time-series  forecasting  logistic  arima  beta-regression  r  time-series  seasonality  large-data  unevenly-spaced-time-series  correlation  statistical-significance  normalization  population  group-differences  demography 

そのため、ハミング距離を使用して生体認証特性から個人を認証しようとしている16のトライアルがあります。しきい値は3.5に設定されています。私のデータは以下であり、トライアル1のみが真陽性です。 Trial Hamming Distance 1 0.34 2 0.37 3 0.34 4 0.29 5 0.55 6 0.47 7 0.47 8 0.32 9 0.39 10 0.45 11 0.42 12 0.37 13 0.66 14 0.39 15 0.44 16 0.39 私の混乱のポイントは、このデータからROC曲線（FPR対TPR OR FAR対FRR）を作成する方法が本当にわからないということです。どちらでもかまいませんが、どうやって計算するのか混乱しています。任意の助けいただければ幸いです。

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