マルコフ連鎖の中心極限定理

$\newcommand{\E}{\mathbb{E}}$$\newcommand{\P}{\mathbb{P}}$中心極限定理（CLT）は、$X_1,X_2,\dots$独立しており、$\E[X_i]=0$および$\operatorname{ Var} (X_i)<\infty$、合計はn \ to \ inftyとして正規分布に収束し$n\to\infty$ます：

$$\sum_{i=1}^n X_i \to N\left(0, \sqrt{n}\right).$$

代わりに、X_1、X_2、\ dotsが、期待値0と有界分散の$X_1,X_2,\dots$ある定常分布\ P_ \ inftyの有限状態マルコフ連鎖を形成する$\P_\infty$と仮定します。この場合のCLTの単純な拡張はありますか？

マルコフ連鎖のCLTで見つけた論文は、一般に、はるかに一般的なケースを扱っています。関連する一般的な結果へのポインタとそれがどのように適用されるかの説明に非常に感謝します。

Alex R.の答えはほぼ十分ですが、もう少し詳しく説明します。で中心極限定理マルコフ連鎖オン- Galin L.ジョーンズは、あなたが定理9を見れば、それが言います、

場合定常分布とハリスエルゴードマルコフ連鎖である は、CLTは当てはまる場合均一エルゴード的であり、 。$X$$\pi$$f$$X$$E[f^2] < \infty$

有限状態空間の場合、すべての既約かつ非周期的なマルコフ連鎖は一様にエルゴード的です。この証明には、マルコフ連鎖理論のかなりの背景が含まれます。ここで定理18の最後にある32ページが参考になります。

したがって、マルコフ連鎖CLT は、有限の2次モーメントを持つ関数を保持します。CLTの形式は次のとおりです。$f$

ましょうの推定平均時間である、アレックスR.が指摘その後として、として、 $\bar{f}_n$$E_{\pi}[f]$$n \to \infty$

$$\bar{f}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(X_i) \overset{\text{a.s.}}{\to} E_\pi[f].$$

マルコフ連鎖CLTは

$$\sqrt{n} (\bar{f}_n - E_\pi[f]) \overset{d}{\to} N(0, \sigma^2),$$

ここで、

$$\sigma^2 = \underbrace{\operatorname{Var}_\pi(f(X_1))}_\text{Expected term} + \underbrace{2 \sum_{k=1}^\infty \operatorname{Cov}_\pi(f(X_1), f(X_{1+k}))}_\text{Term due to Markov chain}.$$

用語の派生は、Charles GeyerのMCMCノートの 8ページと9ページにあります。$\sigma^2$

マルコフ連鎖の「通常の」結果は、バーコフのエルゴディック定理であり、

$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nf(X_i)\rightarrow E_{\pi}[f],$$

ここで、は定常分布であり、は満たし、収束はほぼ確実です。$\pi$$f$$E|f(X_1)|<\infty$

残念ながら、この収束の変動は一般に非常に困難です。これは主に、が定常分布収束する速さの変動範囲全体を把握するのが非常に難しいためです。そこ変動がCLTに類似であることが知られている例があり、あなたは上のいくつかの条件を見つけることができますドリフト類推ホールドを作る：マルコフ連鎖中心極限定理に- Galin L.ジョーンズ（参照定理1）。$X_i$$\pi$

愚かな状況もあります。たとえば、一方が吸収している2つの状態を持つチェーン（つまり、およびです。この場合、変動はなく、縮退正規分布（定数）に収束します。$P(1\rightarrow 2)=1$$P(2\rightarrow 1)=0$