正規分布エラーと中心極限定理

ウォルドリッジの導入計量経済学では、引用があります：

エラーの正規分布を正当化する引数は通常、次のようなものですはに影響を与える多くの異なる観測されていない要因の合計であるため、中心極限定理を呼び出して、が近似正規分布であると結論付けることができます。$u$$y$$u$

この引用は、線形モデルの仮定の1つに関連しています。

$u \sim N(μ, σ^2)$

ここで、$u$は母集団モデルの誤差項です。

さて、私の知る限りでは、中心極限定理は、

$Z_i=(\overline{Y_i}-μ)/(σ/√n)$

（ここで、$\overline{Y_i}$ は、平均$μ$と分散σ^ 2を持つ任意の母集団から抽出されたランダムサンプルの平均です$σ^2$）

n \ rightarrow \ inftyとして標準の標準変数に近づき$n \rightarrow \infty$ます。

質問：

Z_iの漸近正規性$Z_i$がu \ sim N（μ、σ^ 2）をどのように意味するかを理解する$u \sim N(μ, σ^2)$

これは、CLTの結果をiid確率変数の合計で表すことで、より適切に評価できます。我々は持っています

$$\sqrt{n} \frac{ \bar{X} -\mu}{\sigma} \sim N(0, 1) \quad \text{asymptotically}$$

乗算商によってという事実使用得るために$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$Var(cX) = c^2 Var(X)$

$$\bar{X}-\mu \sim N\left(0, \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

今追加 LHS及びその事実使用得るために$\mu$$\mathbb{E} \left[a X+\mu\right] = a \mathbb{E}[X] + \mu$

$$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

最後に、を乗算し、上記の2つの結果を使用して、$n$

$$\sum_{i=1}^n X_i \sim N \left(n \mu, n\sigma^2 \right)$$

そして、これはWooldridgeの発言と何の関係があるのでしょうか？さて、エラーが多くのiid確率変数の合計である場合、見たとおり、ほぼ正規分布になります。しかし、ここには問題があります。つまり、観察されていない要素が必ずしも同じように分布するとは限らず、独立していない場合さえあるということです。

それにもかかわらず、CLTは、いくつかの追加の規則性条件下で、独立した非同一分布の確率変数、さらには穏やかな依存のケースにまで拡張することに成功しています。これらは基本的に、合計のどの用語も漸近分布に不釣り合いな影響を及ぼさないことを保証する条件です。CLTのWikipediaページも参照してください。もちろん、これらの結果を知る必要はありません。Wooldridgeの目的は、単に直感を提供することです。

お役に立てれば。