Distribution \ CLTの収束

その所与の、条件競合製品。です。は限界的な歪みがあります。Poisson（）の場合、は正の定数です。 $N = n$ $Y$ $\chi ^2(2n)$ $N$ $\theta$ $\theta$

、それを示すよう、分布です。 $\theta \rightarrow \infty$ $\space \space (Y - E(Y))/ \sqrt{\operatorname{Var}(Y)} \rightarrow N(0,1)$

誰かがこれを解決するための戦略を提案できますか？CLT（Central Limit Theorem）を使用する必要があるようですが、に関する情報を独自に取得するのは難しいようです。サンプルを取り、を生成するために導入できるrvはありますか？ $Y$ $Y$

これは宿題なのでヒントをいただければ幸いです。

— user42102
ソース

私にとっても重要なことのように見えます。多分それはあなたにはすでに明白ですが、シータ->インフィニティとしてNはどうなりますか？

— PeterR 14年

Nの分布を見るべきですか？私がそれをいじると、pdfは常に0になるようです。これから何を推測できますか？

— user42102 14年

ポアソン（シータ）確率変数の平均は何ですか？

— PeterR 14年

この質問のNとサンプルサイズnをCLTの定義で混同しました。したがって、です。したがって、Nの期待値は無限に近づくことがわかります。ここからどこへ行けばいいのかわかりません。

E (N) = θ

$E(N) = \theta$

— user42102 14年

非中心カイ二乗分布を調べる必要があります。制限が正常であることを証明することは、私が恐れているCLTの単純なアプリケーションよりも複雑になります。

— caburke 2014年

回答:

次の定義される特性関数のプロパティに基づくソリューションを提供します分布は特性関数によって一意に定義されることがわかっているため、およびそれ以降は目的の収束に従います。

ψ_{X} (t) = E \exp (i t X) .

$\psi_X(t)=E\exp{(itX)}.$

ψ_{(Y - E Y) / \sqrt{V a r (Y)}} \to ψ_{N (0, 1)} (t), when θ \to \infty,

$\psi_{(Y-EY)/\sqrt{Var(Y)}}\rightarrow \psi_{N(0,1)}(t), \text{ when } \theta \rightarrow \infty,$

そのために、平均と分散を計算する必要があります。これには、総期待値/分散の法則を使用します-http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_total_expectation。ポアソン分布の平均と分散がと平均であり、分散であると。特徴的な関数を持つ微積分が登場します。最初に、の定義をとして書き換え $Y$

E Y = E {E (Y | N)} = E {2 N} = 2 θ

$EY=E\{E(Y|N)\}=E\{2N\}=2\theta$

V a r (Y) = E {V a r (Y | N)} + V a r {E (Y | N)} = E {4 N} + V a r (2 N) = 4 θ + 4 V a r (N) = 8 θ

$Var(Y)=E\{Var(Y|N)\}+Var\{E(Y|N)\}=E\{4N\}+Var(2N)=4\theta+4Var(N)=8\theta$

E N = V a r (N) = θ

$EN=Var(N)=\theta$

χ_{2 n}^{2}

$\chi^2_{2n}$

E (Y | N = n) = 2 n

$E(Y|N=n)=2n$

V a r (Y | N = n) = 4 n

$Var(Y|N=n)=4n$

Y

$Y$

Y = \sum_{n = 1}^{\infty} Z_{2 n} I_{[N = n]}, where Z_{2 n} \sim χ_{2 n}^{2}

$Y=\sum_{n=1}^{\infty}Z_{2n}I_{[N=n]}, \text{ where } Z_{2n}\sim \chi^2_{2n}$ ここで、を示す定理を使用しますの特性関数はであり、ここから取得します。http：//en.wikipedia.org/wiki/Characteristic_function_）

ψ_{Y} (t) = \sum_{n = 1}^{\infty} ψ_{Z_{2 n} (t)} P (N = n)

$\psi_Y(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\psi_{Z_{2n}(t)}P(N=n)$

χ_{2 n}^{2}

$\chi^2_{2n}$

ψ_{Z_{2 n} (t)} = (1 - 2 i t)^{- n}

$\psi_{Z_{2n}(t)}=(1-2it)^{-n}$

そこで、テイラー展開を使用しての特性関数を計算します最後に、特性関数のプロパティを使用します計算が長くなりすぎたため、計算を飛び越えました... $Y$ $\exp(x)$

ψ_{Y} (t) = \sum_{n = 1}^{\infty} ψ_{Z_{2 n} (t)} P (N = n) = \sum_{n = 1}^{\infty} (1 - 2 i t)^{- n} \frac{θ^{n}}{n!} \exp (- θ) = \sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{θ}{(1 - 2 i t)})}^{n} \frac{1}{n!} \exp (- θ) = \exp (\frac{θ}{1 - 2 i t}) \exp (- θ) = \exp (\frac{2 i t θ}{1 - 2 i t})

$\psi_Y(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\psi_{Z_{2n}(t)}P(N=n)=\sum_{n=1}^{\infty}(1-2it)^{-n}\frac{\theta^n}{n!}\exp{(-\theta)}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\theta}{(1-2it)}\right)^n\frac{1}{n!}\exp{(-\theta)}=\exp(\frac{\theta}{1-2it})\exp(-\theta)=\exp(\frac{2it\theta}{1-2it})$

ψ_{(Y - E Y) / \sqrt{V a r (Y)}} (t) = \exp (- i \frac{E Y}{\sqrt{V a r Y}}) ψ_{Y} (t / \sqrt{V a r Y}) = \exp (- \frac{t^{2}}{2}) \exp (- 1 + 2 i \frac{t}{\sqrt{8 θ}}) \to \exp (- \frac{t^{2}}{2}) = ψ_{N (0, 1)} (t), when θ \to \infty

$\psi_{(Y-EY)/\sqrt{Var(Y)}}(t)=\exp(-i\frac{EY}{\sqrt{VarY}})\psi_Y(t/\sqrt{VarY})= \\\exp(-\frac{t^2}{2})\exp{(-1+2i\frac{t}{\sqrt{8\theta}})}\rightarrow \exp(-\frac{t^2}{2})=\psi_{N(0,1)}(t), \text{ when } \theta \rightarrow \infty$

— フィンバ
ソース

これは、非中心カイ二乗分布との関係を介して表示できます。私が自由に参照することについての良いウィキペディアの記事があります！ https://en.wikipedia.org/wiki/Noncentral_chi-squared_distribution

あなたはそれを与えているとカイ二乗に配布されるのため、自由度。ここでは期待値ポアソン分布を持っています。 $Y|N=n$ $2 n$ $n=0,1,\dots, \infty$ $N$ $\theta$

次に、総確率の法則を使用して、の密度関数を（無条件に）これは、自由度パラメーターがであることを除いて、ほぼ非中央の二乗変数の密度です、これは本当に未定義です。（これはウィキペディアの記事の定義セクションに記載されています）。 $Y$

f_{Y} (y; 0, θ) = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{e^{- θ} θ^{i}}{i!} f_{{χ^{2}}_{2 i}} (y)

$f_Y(y; 0, \theta) = \sum_{i=0}^\infty \frac{e^{-\theta} \theta^i}{i!} f_{{\chi^2}_{2i}}(y)$

k = 0

$k=0$

したがって、明確に定義するために、上記の式をに置き換え であると非心chisquared変数の密度自由と非中心性パラメータの度。したがって、私たちの分析では、限界を取得した後、ときに限界を採用することを忘れないでください。の範囲では確率であるため、これは問題あり

f_{Y} (y; k, θ) = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{e^{- θ} θ^{i}}{i!} f_{{χ^{2}}_{2 i + k}} (y)

$f_Y(y; k,\theta) = \sum_{i=0}^\infty \frac{e^{-\theta} \theta^i}{i!} f_{{\chi^2}_{2i+k}}(y)$

k

$k$

2 θ

$2\theta$

k \to 0

$k \rightarrow 0$

θ \to \infty

$\theta \rightarrow \infty$

θ \to \infty

$\theta \rightarrow \infty$

N = 0

$N=0$ がゼロになると、ゼロの点質量が消えます（自由度がゼロの二乗変数はゼロの点質量として解釈される必要があるため、密度関数はありません）。

ここで、固定された各、wikiの結果、セクション関連の分布、正規近似を使用します。これにより、各求められる標準正規制限が与えられます。次に、がゼロになるときに制限を適用します。これにより、結果が得られます。 $k$ $k$ $k$

— kjetil b halvorsen
ソース