CLTでは、なぜ

ましょ平均有する分布から独立して観察することがμ及び分散σ 2 < ∞、場合N →を∞次いで、$X_1,...,X_n$$\mu$$\sigma^2 < \infty$$n \rightarrow \infty$

$$\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma} \rightarrow N(0,1).$$

なぜこれがその意味するものではない

$$\bar{X}_n \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)?$$

あなたの解釈は少し間違っています。中心極限定理（CLT）は、

$$\bar{X}_n \overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right).$$

これは、CLTが漸近的な結果であり、実際には有限サンプルのみを扱っているためです。ただし、サンプルサイズが十分に大きい場合、CLTの結果は近似的に成り立つと仮定します。

$$\begin{align*} \sqrt{n} \dfrac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} N(0, 1)\\ \sqrt{n} \dfrac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma} . \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} N \left( 0, 1 \right)\\ {\bar{X}_n - \mu} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(0, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)\\ \bar{X}_n - \mu + \mu & \overset{\mbox{approx}}{\sim}\mu + N \left(0, \frac{\sigma^2}{n} \right)\\ \bar{X}_n & \overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right).\\ \end{align*}$$

$X$$a,b$$\operatorname{Var}(aX) = a^2 \operatorname{Var}(X)$$E(b + X) = b + E(X)$$\operatorname{Var}(b + X) = \operatorname{Var}(X)$

代数の詳細については、こちらをお読みください。

$\bar X_n$

$\mathcal{N}(0,1)$

$$E\left[\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma}\right]\approx 0$$ $E[a\cdot x+b]=a\cdot E[x]+b$$a,b$ $$\bar{X}_n\approx\mu$$

$\operatorname{Var}[a\cdot x+b]=a^2\cdot \operatorname{Var}[x]=a^2\cdot \sigma_x^2$$a,b$

$$\operatorname{Var}\left[\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma}\right]\approx 1$$ $$\operatorname{Var}\left[\bar{X}_n\right]\approx \frac{\sigma^2}{n}$$

$\bar X_n$$\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$

$\bar X_n$$\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$

$\rightarrow$$\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$$n$$\mathcal{N}(0,1)$

$\bar{X}_n$$\sqrt{n} (\bar{X}_n - \mu) / \sigma$$\tau Z + \mu \sim$$(\mu, \tau^2)$$Z \sim$$(0, 1)$

$$\begin{align} M_{\tau Z + \mu}(t) &= M_Z(\tau t) M_\mu (t) \\ &= e^{t^2 \tau^2 / 2} e^{t \mu} \\ &= e^{t^2 \tau^2 / 2 + t \mu} \end{align}$$

$(\mu, \tau^2)$