確率分布のアンサンブルが完了しているトポロジ

私は、確率分布に関する直感的な理解と、確率分布のほとんどすべてのトポロジーが持っている奇妙な特性との調整にかなり苦労しています。

たとえば、混合確率変数考えます。0を中心とし、分散1、確率1のガウスを選択します。$X_n$、結果にnを追加します。このような確率変数のシーケンスは、分散が1で、0を中心とするガウス分布に（弱く、全体的に）収束しますが、Xnの平均は常に1であり、分散は+∞に収束します。そのため、このシーケンスが収束するとは言いたくありません。$\frac{1}{n}$$n$$X_n$$1$$+\infty$

トポロジーについて忘れていたすべてのことを覚えるのにかなりの時間を費やしましたが、最終的に、そのような例について非常に不満な点を見つけました。シーケンスの制限は従来の分布ではありません。上記の例では、限界は奇妙な「平均1と無限分散のガウス」です。トポロジーの観点から見ると、確率分布のセットは弱点（およびTV、および私が調べた他のすべてのトポロジー）では完全ではありません。

次に、次の質問に直面します。

• 確率分布のアンサンブルが完了するようなトポロジは存在しますか？

• いいえの場合、その不在は確率分布のアンサンブルの興味深い特性を反映していますか？それとも退屈ですか？

注：「確率分布」についての質問をしました。これらは、PDFを持たないディラックスなどに収束する可能性があるため、閉じることができません。しかし、対策は弱いトポロジーではまだ閉じられていないので、私の質問は残っています

mathoverflowにクロスポスト /mathpro/226339/topologies-for-which-the-ensemble-of-probability-measures-is-complete?noredirect=1#comment558738_226339

より狭い統計的角度から質問を見ると（一般的な数学的トポロジーの問題は有効です）、モーメントのシーケンスが制限分布のモーメントに収束しない可能性があるという事実はよく知られている現象です。これは、原則として、シーケンスの適切に制限された分布の存在を疑わしく自動的に設定するものではありません。

$\{X_n + n Bern(1/n)\}$$N(0,1)$