t検定の正規性の仮定に関する質問

t検定の場合、ほとんどのテキストによれば、母集団データは正規分布しているという仮定があります。なぜだかわかりません。t検定は、標本平均の標本分布が母集団ではなく正規分布であることのみを要求しませんか？

t検定が最終的にサンプリング分布の正規性のみを必要とする場合は、母集団は任意の分布のように見えますか？適切なサンプルサイズがある限り。それは中心極限定理が述べていることではありませんか？

（ここでは1標本または独立標本のt検定を参照しています）

t検定の場合、ほとんどのテキストによれば、母集団データは正規分布しているという仮定があります。なぜだかわかりません。t検定は、標本平均の標本分布が母集団ではなく正規分布であることのみを要求しませんか？

t統計量は2つの量の比率で構成され、どちらも確率変数です。分子だけではありません。

t統計がt分布を持つためには、標本平均が正規分布を持っている必要はありません。以下も必要です。

• 分母では、このようなことがその *$s$$s^2/\sigma^2 \sim \chi^2_d$

• 分子と分母が独立していること。

*（の値 - 1サンプル内のどのテストに依存する我々有する）$d$$t$$d=n-1$

これら3つのことが実際に当てはまるには、元のデータが通常どおりに配布されている必要があります。

t検定が最終的にサンプリング分布の正規性のみを必要とする場合は、母集団は任意の分布のように見えますか？

しばらくの間、iidを取り上げましょう。CLTが母集団を保持するには、条件に適合する必要があります...-母集団は、CLTが適用される分布を持つ必要があります。CLTが適用されない人口分布があるためです。

適切なサンプルサイズがある限り。それは中心極限定理が述べていることではありませんか？

いいえ、CLTは実際には「妥当なサンプルサイズ」について一言も述べていません。

実際には、有限のサンプルサイズで何が起こるかについては何も述べられていません。

現在、特定のディストリビューションを考えています。これは、CLTが確実に適用されるものです。しかし、では、標本平均の分布は明らかに非正規です。しかし、人類の歴史のどのサンプルにも、これほど多くの価値があるとは思えません。だから-トートロジーの外で-'合理的な 'はどういう意味ですか？$n=10^{15}$$n$

したがって、双子の問題があります：

A.人々が通常CLTに帰する効果-サンプルサイズの分布の正規性への近づきつつあるアプローチは、サンプルサイズが小さい/中程度である-は実際にはCLTに記載されていません**。

B.「分子内の通常からそれほど遠くないもの」では、t分布を持つ統計を取得するには不十分です。

**（Berry-Esseenの定理のようなものは、サンプルサイズの増加がサンプル平均の分布に及ぼす影響を見るときに人々が見ているものに似ています。）

CLTとSlutskyの定理により、として、t統計量の分布が標準正規に近づくことが（すべての仮定が満たされる限り）与えられます。与えられた有限のが何らかの目的で十分であるかどうかは述べていません。$n\to\infty$$n$