LENモデルの同等性
開始位置は、不完全な情報（モラルハザード）と次のプロパティを持つプリンシパルエージェントモデルです。 エージェントユーティリティ：u(z)=−e(−raz)u(z)=−e(−raz)u(z)=-e^{(-r_az)} 主な効用：B(z)=−e(−rpz)B(z)=−e(−rpz)B(z)=-e^{(-r_pz)} エフォートレベルe∈Re∈Re\in \Bbb R アウトカムx∈R,x∼N(μ(e),σ),μ′(e)>0,μ′′(e)≤0x∈R,x∼N(μ(e),σ),μ′(e)>0,μ″(e)≤0x\in \Bbb R, x\sim N(\mu(e), \sigma), \mu'(e)>0, \mu''(e)\le0 契約：、w(x)=a+bxw(x)=a+bxw(x)=a+bx ここで、とr Pは、それぞれエージェントとプリンシパルの絶対リスク回避のArrow-Prattメジャーです。rArAr_ArPrPr_P エージェントの努力が見えないときに、プリンシパルがエージェントに提供する最適な契約を探しています。プリンシパルのユーティリティは次のように書くことができます： UP(e,a,b)=∫∞−∞−e(−rP((1−b)x−a))f(x∣e)dxUP(e,a,b)=∫−∞∞−e(−rP((1−b)x−a))f(x∣e)dxU^P(e,a,b)=\int_{-\infty}^\infty-e^{(-r_P((1-b)x-a))}f(x\mid e) \, dx 次の同等性が成り立つことを示したいと思います。つまり、プリンシパルの効用の最大化は、次の同等性のRHSとして書くことができます。 maxe,a,b∫∞−∞−e(−rP((1−b)x−a))f(x∣e)dx⇔maxe,a,b(1−b)μ(e)−a−rP2(1−b)2σ2maxe,a,b∫−∞∞−e(−rP((1−b)x−a))f(x∣e)dx⇔maxe,a,b(1−b)μ(e)−a−rP2(1−b)2σ2\max_{\rm e,a,b}\int_{-\infty}^\infty-e^{(-r_P((1-b)x-a))}f(x\mid e) \, dx \Leftrightarrow \max_{\rm e,a,b}(1-b)\mu(e)-a-\frac{r_P}2(1-b)^2\sigma^2 f(x|e)=1σ2π√e(−12(x−μ(e)σ)2)f(x|e)=1σ2πe(−12(x−μ(e)σ)2)f(x|e)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{(-\frac{1}2(\frac{x-\mu(e)}\sigma)^2)}x∼N(μ(e),σ)x∼N(μ(e),σ)x\sim N(\mu(e),\sigma)μ(e)μ(e)\mu(e)σ>0σ>0\sigma>0 f(x|e)f(x|e)f(x|e)