LENモデルの同等性

開始位置は、不完全な情報（モラルハザード）と次のプロパティを持つプリンシパルエージェントモデルです。

ここで、とは、それぞれエージェントとプリンシパルの絶対リスク回避のArrow-Prattメジャーです。 $r_A$ $r_P$

エージェントの努力が見えないときに、プリンシパルがエージェントに提供する最適な契約を探しています。プリンシパルのユーティリティは次のように書くことができます：

U^{P} (e, a, b) = \int_{- \infty}^{\infty} - e^{(- r_{P} ((1 - b) x - a))} f (x ∣ e) d x

$U^P(e,a,b)=\int_{-\infty}^\infty-e^{(-r_P((1-b)x-a))}f(x\mid e) \, dx$

次の同等性が成り立つことを示したいと思います。つまり、プリンシパルの効用の最大化は、次の同等性のRHSとして書くことができます。

max_{e, a, b} \int_{- \infty}^{\infty} - e^{(- r_{P} ((1 - b) x - a))} f (x ∣ e) d x \Leftrightarrow max_{e, a, b} (1 - b) μ (e) - a - \frac{r_{P}}{2} (1 - b)^{2} σ^{2}

$\max_{\rm e,a,b}\int_{-\infty}^\infty-e^{(-r_P((1-b)x-a))}f(x\mid e) \, dx \Leftrightarrow \max_{\rm e,a,b}(1-b)\mu(e)-a-\frac{r_P}2(1-b)^2\sigma^2$

$f(x|e)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{(-\frac{1}2(\frac{x-\mu(e)}\sigma)^2)}$ $x\sim N(\mu(e),\sigma)$ $\mu(e)$ $\sigma>0$

$f(x|e)$

expected-utility asymmetric-information principal-agent

— Fusscreme
ソース

$z$ $e$

E [z | e] - \frac{r_{p}}{2} Var (z | e) .

$\text{E}[{z}|e] - \frac{r_p}{2}\text{Var}(z|e).$

言い換えれば、富は正規分布しているため、指数関数的効用は単純な「平均分散」表現を持っています。派生については、ここを参照してください。

$z$ $x - w(x) = (1 - b)x - a$ $z$

E [z | e] = (1 - b) E [x | e] - E [a] = (1 - b) μ (e) - a,

$\text{E}[z|e] = (1 - b)\text{E}[x|e] - \text{E}[a] = (1 - b)\mu(e) - a,$

Var [z | e] = (1 - b)^{2} Var (x | e) - Var (a) = (1 - b)^{2} σ^{2} .

$\text{Var}[z|e] = (1 - b)^2 \text{Var}(x|e) - \text{Var}(a)= (1 - b)^2\sigma^2.$

したがって、プリンシパルの期待される効用は次のように書くことができます。

(1 - b) μ (e) - a - \frac{r_{p}}{2} (1 - b)^{2} σ^{2} .

$(1 - b)\mu(e) - a - \frac{r_p}{2}(1 - b)^2\sigma^2.$